初中数学：平滑定理在二次函数求面积中的巧妙应用

我们先来了解什么是平滑定理：

两个三角形共用同一底，且顶点都在与底平行的同一条直线上，那么由三角形的面积公式可知，这两个三角形的面积必然相等。

所以平滑定理需要两个条件：

1）共底或者底在同一直线上但相等；

2）三角形的顶点都在与底平行的同一条直线上

平滑定理

而在二次函数与一次函数相结合的题目中，求面积或者与面积相关的问题时，我们通常过三角形的某个已知顶点作对边（通常这个边的直线方程已知或比较容易求解）的平行线，利用平滑定理来求解，问题就会变得简单许多，近年来，多地的中考试题中也出现了这样的题目，值得我们重视。

初中数学课堂

以下为王国强老师主编的初中数学课堂教学实践，推荐感兴趣的老师和同学可以阅读一下

下面结合两个例题做进一步说明：

例1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．

（1）求出抛物线的函数表达式；

（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把（﹣2，n）代入y＝x﹣3得n＝﹣2﹣3＝﹣5，则B（﹣2，﹣5），

把A（3，0），B（﹣2，﹣5）代入得抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0），

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）

设N（t，t﹣3），

∵AC平移得到MN，

∴AC∥MN，AC＝MN，

而点C先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点A，

当点N先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点M，则M（t+3，t﹣6），

把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t1＝1，t2＝﹣6，

∴M点的坐标为（4，﹣5），（﹣3，﹣12）（舍去）

当点N先向上平移3个单位，再向左平移3个单位得到点M，则M（t﹣3，t），

把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，解得t1＝3（舍去），t2＝4，

∴M点的坐标为（﹣1，4）（舍去），

综上所述，M点坐标为（4，﹣5）；

（3）情形1：当点P在MC上方的抛物线上时，如图2-1，过点A作MC的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点E，此时△PCM的面积 = △ACM面积，

将C（0,3），M（4，-5）代入y=kx+b,解得

CM直线方程为：y = -2x+3,

∵ AE//CM, （由平滑定理可知，当点P在MC上方的抛物线上时，与△ACM面积相等三角形顶点P一定在过A点且平行于MC的直线上，情形2同理）

∴ 可设AE的直线方程为：y=-2x+t

代入点A（3,0）得t=6

∴AE的直线方程为：y = -2x+6

联立y＝﹣x2+2x+3

解得：x1 = 3, x2=1

∴P(1,4)；

情形2：当点P在AC下方的抛物线上时，AE的直线方程为：y = -2x+6

解得E（0,6）