通过一道美国数学竞赛题，学习添加辅助线的逻辑思路

中学数学的几何类题目中，可以说绝大部分是需要通过添加辅助线来帮助求解问题的，但如何恰当地添加辅助线却是很多同学困惑的。下面通过一道美国中学的数学竞赛题，来初步学习如何有逻辑地添加辅助线。

如图所示，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C=40°，延长AB至点D，使得AD=BC。求∠BCD。

题目给定的条件就两个，显然需要通过添加辅助线来帮助求解。

分析：题目给定的条件中，两个角等于40°很容易利用到，问题的关键在于如何处理AD=BC。现在这两条线段既不平行，也不垂直，处于互相独立的状态，那就要想办法联系起来。

一个很容易想到并且有逻辑的思路就是让AD与BC构成一个三角形的两条边，这样就能构建一个等腰或者等边三角形，容易计算角度。具体到这个题目中，考虑到∠A=100°，如果作等边三角形后，把∠A分成60°和40°后，能够与已有的40°角相联系，可能会有相似三角形或全等三角形。

那就过点A做线段AE=AD，使∠DAE=60°。连接DE、CE。如图所示。

这样就得到了一个等边三角形ADE。∠CAE=100°-60°=40°。

△ABC和△CAE中，

∵AB=AC，BC=AE，∠ABC=∠CAE=40°，

∴△ABC≌△CAE。

∴∠AEC=40°，∠ACE=100°，AC=CE。

因此，在△ADC和△EDC中，AD=DE，DC是公共边，AC=CE，

∴△ADC和△EDC是全等三角形。

∴ACD=100°/2=50°

∴BCD=50°-40°=10°

由此得解。

小结：在三角形问题中，将已知条件通过辅助线集中到一个三角形内，可以将问题化难为简。