2021年中国数学奥林匹克竞赛（CMO）第二题详解

求最大的实数，使得对于任意，都存在一个复数满足，并且是如下方程的根：

本题涉及韦达定理以及均值不等式。其中，三次方程的韦达定理可以描述为：方程的三个复根满足下列三个式子

其中 在这个基础上，借用均值不等式即可逼出满足题意的的最大值。下面给出本题的解答。

由于对称性，不妨设，否则可以对换，，而原方程保持不变。我们考察方程

的复根。

首先，我们断言上述方程必然有虚根，假设不然，则我们设它的三个实根为，其中由韦达定理知：

而由均值不等式，

从而，即，这与相矛盾，从而上述方程必然有虚根。设其三个根为，其中我们记，则由韦达定理知：

假设，则由上面三个式子可知，而由均值不等式，，，可得

即，矛盾。从而，即，这意味着上述方程必然有一个根满足，进而是满足题意的一个值，由的最大性可知

另一方面，令，此时观察这几个根可知，综上，

本题的一个关键在于观察到对换，不会改变题目中的方程，从而不妨添加一个条件，而这个条件也是为了配合均值不等式的使用。本题难度偏大，需要一些观察和一些运气，耗费的时间较长。