重庆市南开中学高2022届高三下第6次月考第16题：三点共线定理

明代王宠的书法不激不厉，行云流水，我看不进去；茨威格《昨日的世界》，文字美得像音乐，我也读不进去。此时，我只想起了王安石，“幽轩含气象，偏影落风尘”。 春天的午后出去散步是一件十分惬意的事。我就在享受这种惬意。 惬意之间是“三点共线”，平面几何的内容，迫不及待地要与你分享。平面几何是初中数学的核心，亦是高中平面向量和平面解析几何的载体，当然也是学习的难点。平面几何素来具有独特的魅力，那些优美的定理（梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、蝴蝶定理等）闪烁着智慧的光芒。 有人说，平面几何在高考中已无立足之地，只有在竞赛中才能大放异彩。这种说法纯属无稽之谈。平面几何从未淡出过高考舞台，只不过悄无声息，考了也没发现。 第一空承担着两个任务，一是通过计算为第二空作准备；二是降低难度送分。对多数人而言，这个目的恐怕要落空，因为分数送得一点也不干脆。不少人因未能识别角平分线定理而无从下手，眼看着分数从指尖划过而黯然神伤。 法1 ，正弦定理，这是最直接，也是最简洁的打开方式。法2 ，构造直角三角形，等腰三角形中作高是基本的手法。无论是法1 还是法2 ，都离不开角平分线定理，一旦发现，第一空如探囊取物。 法1 至法4 ，命题者的初衷——三点共线定理。这里的线条多，共线的点也多，随便选取即可，没有本质上的差别。法1 至法3 ，我写得较为详细，轮番轰炸，目的在于模仿和加深印象。熟练之后便是法4 的操作，直接而干脆。 三点共线定理是平面向量基本定理的应用，是基底法的具体体现。所谓基本定理，就是平面向量的分解。如果两个基底互相垂直，那么就是正交分解，由此可得到直角坐标；如果基底不垂直，就是斜分解，得到的就是斜坐标。 法5 ，解析法。解析法的诞生标志着几何跨入了新时代，并以十分惊人的速度向纵深发展。解析几何的创立打破了将近两千年僵局，笛卡尔和费马功不可没。法5 ，思路清晰，步骤严谨，很适合操作。然而解析法往往有个毛病，就是计算量不容小觑。不过这算不得什么，获得新工具所付出的代价是值得的，毕竟它能解决以往无法企及的难题。 法6 ，几何法。我从来都不会鄙视，也不会抛弃几何法。事实上，我十分欣赏几何法。几何法中蕴含着大量的智慧，令人叹为观止。几何法的毛病就是构思精巧，当中的关卡并不一目了然，所以难度往往很大。不过一旦辅助线给力，便可势如破竹，一击得手。 本题中涉及到三等分点，所以添平行线构造相似三角形自然而然。接下来便是线段的代换，纯属变形。法6 的核心就是这条平行线DE ，值得再次回眸。 法7 ，梅涅劳斯定理。毫不夸张地说，法6 已然包含了法7 ，而法7 的证明就是法6 。对小题而言，法7 更直接，更快捷，也更能令人心动。梅氏定理的特点就是线段的比例关系，因此，它是处理线段之比的重要手段，也是证明三点共线的有力工具。 相较法5 ，法6 和法7 所带来的冲击令人不安，原始的东西似乎更有效。这是一种错觉，这种错觉完全是因为本题的特点而产生，几何法恰好契合了这种量身定制。 最后，让我们来重温一下本题所涉及到的两个工具。