初中几何趣题：求套娃三角形的面积

如图：三角形ABC三边外接三个正方形EMBA、ACHN、BFGC（图中绿色显示），三个正方形再外接三个正方形LOFE、IMND、GJKH（图中紫色显示）。已知正方形LOFE的面积为2809，正方形GJKH面积为2704，正方形IMND面积为2601。求三角形ABC的面积

图中的三角形ABC具有任意性，是一题有趣的套娃题目，三角形外面套了两层正方形，已知最外围正方形的面积，求最里面的三角形面积。

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

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解法一（代数法）：

为了方便表达，我们在图上标了三角形ABC的三个角和三条边。

把关注点先放到三角形MAN，我们注意到角MAN=180度-角a，运用余弦定理可得：

，化简得：

。。。。（式1）

在三角形ABC中，运用余弦定理可得：

。。。。（式2）

由（式1）+（式2）得：

。。。。（式3）
同理，可以得到：

。。。。（式4）

。。。。（式5）

由（式3）+（式4）+（式5）得到：

。。。。（式6）

进而得到：

由于我们需要用正弦定理计算面积，因此从式2计算余弦的值：

可得正弦值：

代数法的思路比较直接，但是就是计算量有点大。俗话说没有什么题目是一次硬算解决不了的，否则就两次硬算。

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解法二（面积法）：

我们放大一下三角形ABC的局部图，由紫色正方形面积，容易得到边长分别是51、52、53。

设图中3个白色三角形的面积分别为：S1、S2、S3。

我们有

同理，我们可以计算出S1=S2=S3，均与三角形ABC面积相等。

而S1、S2、S3合并为一个大的三角形，刚好三边长分别为51、52、53。

根据三角形面积海伦公式，可以得到新三角形的面积，进而得到三角形ABC的面积。

此处省略具体计算过程，有兴趣的读者可以自行补充。

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解法三（几何法）：

如果觉得以上方法都比较繁琐，或者没有学过三角函数，我们可以来一个纯几何的方法。

按以下方式做辅助线：

其中MZ//NZ，BW//CW，可见三角形MAN的面积，是四边形MANZ面积的一半。三角形ABC的面积是四边形BWCA面积的一半。

做两个四边形的高BA1和AV，通过角的计算，发现：

角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC，所以，角ZMA=角BAC

因此三角形BAA1与三角形AMV全等，BA1=AV

四边形MANZ与四边形BWCA面积相等，进而三角形ABC的面积与三角形MAN相等。

剩下就跟方法二一样，通过海伦公式就可以计算了。

有兴趣的读者，可以自行完成

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你学会了吗？如果你有其他解法，也可以在评论区留言哦。

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