由八省联考数学试题分析初中数学应该怎么学

八省联考已经过去了很久了，当时写了一篇文章，简单的聊了一下我自己的看法。
今天想试图做点有意义的事情，即从八省联考数学试题出发，分析一下初中数学学习应该注意一些什么。这件事不太好做，但还是由价值的。因为八省联考的风向标意义还是很强的。 通过对八省联考的试卷分析，找到新高考对学生能力的要求，尽早做好准备，也是一件有意义的事情。因为我能力不够，可能写的不很到位，希望大家多包容。为了方便，我会按照题目的顺序来讲，想到哪里讲哪里。
常规情况——以前的全国卷中，第一题这道集合题的难度是很低的，主要是交并补的计算，偶尔会涉及到描述法、互异性等集合内容。

但是这一次八省联考的第一题，变具体计算问题为抽象想象问题，重点考察学生对集合关系、集合运算的概念掌握，考察学生使用数形结合解决问题的能力。

虽然题目难度其实不大，仍然属于常规题，但其实也是有反套路的意味在里面的。

就是看学生复习备考的时候，到底是一味功利的的刷题，还是真正的理解了概念。

数学学习的核心，其实就是概念的学习，之所以做很多练习，也只是为了熟悉、掌握、理解概念，学会运用概念去解决问题。

这个趋势，是随着学生学习年级的上升逐渐显露出来的，小学、初中、高中、大学，学习的内容越来越抽象，概念的重要性越强。

但也因为如此，如果孩子们在初中习惯于只刷题而不重视概念，那么到了高中之后，自然也会习惯于如此，那么是不利于高中数学学习和最终的高考，甚至不利于将来大学数学的学习。

常规概率计算，由于解答题也是考查概率，因此该题放在第2题位置，属于基础题。文理合卷之后，没有考查复杂的计数原理，即使采用枚举法，也能得出正确答案。

以前在分析小初高数学体系的时候，我就说过概率统计不说也罢，主要原因是高中的概率统计目前来说还是比较简单的，起码对于初中生来说，概率统计不是考察的重难点。

但是在2019年高考中，全国一卷理科的概率统计放在了压轴题的位置上，怎么说呢，对于初中家长来说，还是关注下高考的趋势变化吧。

目前有这么一种倾向，提高概率统计的分值比例，题目难度还需要观察。

回到这一题，实质就是一个排列组合。

而且是非常简单的排列组合问题。

这里就涉及到一个有意思的问题，奥数到底学不学，尤其是初中生和高中生？

因为排列组合就是奥数中比较重要的内容。

只专注课内、裸考，奥数的必要性就不强了，可以学，但可以有选择的学，比如排列组合就没有必要学太多了；

强基和走竞赛的话，还是要学一些的。

考察了一元二次方程和常用逻辑用语。

算是一道简单的选择题，但也与常规的全国卷选择题前8题有区别，考察的形式比较复杂，需要通过假设甲乙丙丁四个命题中某一个为假，其他三个为真来分析判断。

也体现了这份试卷重思维的特点。

考查椭圆定义及其标准方程，属于基础题。

使用的思想方法还是数形结合，解析几何本身还是几何问题，通过作图转化为平面几何问题，可以有效的降低思维难度。

其实解析几何的内容和思路虽然没有在初中专门出现，但其实已经涉及到很多了，比如中考函数的压轴题很多都涉及到几何图形的性质以及对称、旋转、平移等内容，其实已经是解析几何化了。

所以在初中学习这些题目的时候，不仅仅要学习题目的解决方法，还要学习其中的思想方法。

在预习高中数学的时候，其实也可以考虑在此基础上衔接高中解析几何。

也可以先学一部分解析几何内容在回头看初中函数题目，利用数形结合思想。

考查平面向量的运算，属于常规题，涉及到向量相关的运算以及简单的三角函数，但运算量稍有增加。

运算能力也是高考中的一个考察点，运算量也是加大难度的一种思路。

在初中的时候，多项式的相关计算是一个需要着意练习的点，但是分解因式对于课内而言，可以学习研究，但不需要学习太复杂的内容。

相对往年对二项式定理的考查提升了难度，需要学生综合运用二项式定理的概念和组合数求和性质定理。

属于单选题中的最难题，用到今年比较热门的同构思想，计算量较大。

这就属于小压轴了。

新高考的选择题变化，导致选择题的整体难度是加大了的。

体现了解析几何的常规解决方法和流程：舍而不求、构造方程、消元、韦达定理等思路。

这种题说难也难，说不难也不难，但是基础薄弱的学生一般很难上手，或者上手后会中途放弃。

这里面就涉及到一个解题的思路问题和意志品质问题。

面对比较复杂的题目，能不能找到思路，能不能在遇到问题的时候坚持去解决，都是需要锻炼的，这也就是做难题的意义之一。

利用同构思想构造函数， 再利用导数研究单调性，进行不等关系比较，属于近年比较热门的考点。

这道题的难度也比较大，属于压轴题范畴。

这八道单选题，整体难度要比平时的高考全国卷难得多，一方面是整体难度的增加，另一方面是难题比例的增加。

这一次各地的考试成绩都不理想，就与题目难度的增大有很大的关系。

从第9题开始是多选题，全部选出5分，不完全得2分，就看考生如何衡量了。

这道题考查函数的基本概念和性质，需要使用导数来确定函数的单调性、极值等相关性质以及导数的几何含义等内容。

这种题对于基础一般的学生来说，就是比较纠结的了——选一个比较好选，但全部选对，就可能会有一定的风险。

其实多选题对学生的要求是更高了，以前做单选题，因为只有一个正确答案，所以有很多技巧可以使用，只需要选出一个正确选项，其他的选项对错根本不用考虑，但现在不行了，每一个选项都需要认真的判定，其实是加大了难度，提升了思考、解答的工作量。

它的好处就是方便出题人在一道题目中考察多个知识点，或者考察一个知识点的多个不同方面。

需要的就是考生要全面，知识掌握上不能有太多似是而非的地方，尽量不要留死角。

否则的话，一旦在某个选项上不确定，考生就会异常纠结。

复数以往作为基础题，常见考法是简单运算。这次体现对复数抽象运算性质的考查，属于近年比较少见的考法。

你说它难不难？

真的不算难，其实就是基本的概念、性质抽象化了而已。

但是很多孩子反而怕这种类型的题目——因为对概念、性质的掌握不够清楚，似是而非，证明证明不出来，证伪反例又不出来，很容易就漏掉一些选项或者没有考虑清楚而多选。

八省联考的试卷真的是回归了概念，很多题目本身不难，就是对学生概念掌握的考察，但恰恰这种题目正中某些孩子的软肋。

考查空间想象能力，空间中直线的平行与垂直关系。

这道题没有什么可说的。

有趣的一个现实，在初中花费学生很多精力的几何证明，到了高中其实地位一直在下降。

高中的立体几何和初中的平面几何，区别还是蛮大的，不管是题型特点，思维侧重还是解决方法，都是有很大区别的。

作为多选题的压轴题，综合考查学生对三角函数以及导数的应用。选项考查的还是常见基础考点，需要学生有较强的综合能力。

如果抠小点的话，粗粗估计这道题目的整个解题过程中涉及到的知识点、解题技巧有七八个之多。

但不是说有七八个知识点的知识储备，你就可以把这道题目解决掉，因为需要在解题过程中，根据面临的情况来选择合适的工具，这里面就存在分析条件——回顾知识储备——调取合适方法——试图解决——考虑细节的流程，到底考生能不能胜任，这是一个考察的点。

在初中，这种题目的量是比较少的，初中不是没有难题，但这种不同知识点的综合题目，还是比较少，也是初中生在初高衔接的时候，需要着意练习的一点。

考查空间几何体中比较冷门的台体体积。学生平时这方面训练相对较少，需要熟记相关公式。

这就涉及到一个高考复习的全面性问题，虽然一轮、二轮这么过下来，但其实真正能够做到大部分情况下无死角的学生还是不多。

这里面的原因很多。

比如老师讲解不到位，比如数学的内容的确太多，全部掌握难度太大。

但学生自身也有原因，就是在学习、复习的时候能不能做到细致，老师的要求能不能做到百分百的完成。

其实一轮下来，基本上老师的讲解是可以做到大部分无死角的，即使老师不给力，各种教辅、网课也可以做到，就看学生有没有主观能动性了。

其实还是不要指望高三复习，在高一高二学习的时候就要尽量把基础打牢。

考查学生的逻辑推理能力，和知识的应用能力；同时也预示着填空双空题可能会在高考中出现。

如果有一些其他知识储备的话，做起来会很简单，但其实不会，如果对于相关公式比较熟悉的话，直接应用也不是难事。

这其实是真正考察数学能力的题目，给了你公式、定义、定理，你会不会用它去解决问题。

另外就是填空题在形式上的一些创新，这种小创新是完全有可能很快出现在高考上的。

及其少见的开放性试题，题目设问具有较高灵活性，答案不唯一，需要学生适应相关考查方式。

这道题你说它难不难，没有比这更容易的题目了。

关键是开放题的形式，这种形式的出现，意味着考察越来越灵活，死记硬背越来越走不通。

新课标中，统计与概率作为加强部分，此题再次强调该知识点的重要性。考查学生在综合的情境中提取信息并加以运用的能力。

对数列的常规考查，难度不高，该题设问给出足够的提示，引导学生作答。同时，需要注意的是近年新型的结构不良试题在这次联考中未出现，并不代表2021高考不会出现。

解三角形问题，看似几何题，实则代数题。需要学生综合运用正弦定理、余弦定理、面积公式及边角互化技巧。该题还需要用到列方程思想求解未知数。

在老的课标卷中，数列与解三角形是二选一的出题，但是现在因为取消了选做题，那么两道题目就都出现了。

常规概率和随机变量问题的考查。

网红题，颠覆性创新题，完全不同于以往对于立体几何的考查，成为这次联考反响最大的试题。强调对于所学知识的综合运用和知识迁移能力，预示今后高考试题会越来越灵活多样，对学生的能力考察维度越来越多，思维能力要求越来越高。

说通俗一点，可能以后指望备考能见过所有的题型可能不会现实了，考试中总会出现你没有见过的题目，怎么办？只能靠你自己的能力去解决。

这个能力，不是高中培养出来的，是小学、初中就要着重努力培养的。

圆锥曲线解答题出现以往少见的双曲线，并且第2问也属于非常规类型，该题曾经在自主招生试卷中出现过，需要学生对新的考查内容有较强的临场应变能力。

这是一个提醒，以后我们没有套路一说，不要拿以前的老套路来看高考命题，起码不能机械照搬了。

考察了三角函数求导，比较不常见，涉及到分段函数的单调性与最值，还使用了放缩以及分离参数求最值，对学生的思维能力和计算能力要求比较高。

以后也许会有更多的函数求导，而不是局限于常规性的题目。

下面我们来聊一聊对这份试卷的整体感受。

从八省联考试卷可以看出，未来的高考数学试题侧重于在基础性、综合性、应用性、创新性这些角度来命题。命题反套路，反刷题，体现传统文化，体现教育的育人功能（这句话以前我觉得是套话，但是和青葭老师的一番交流让我豁然开朗），注重数学的应用性，考察学生的迁移能力和创新能力！

通过对比新高考试卷、八省卷和普通卷，我们会发现整个数学试卷的阅读量也在上升，应用性质的题目越来越多。这就对学生的阅读能力、理解能力，数学建模能力提出了更高的要求。

这里顺便介绍一下高中数学对于知识掌握层次的划分：

了解：对知识有初步、感性认识；知道它是什么；按照一定程序和步骤进行模仿；在相关问题中能识别和认识它。

理解：对知识有深刻理性认识；知道知识间逻辑联系；对知识能正确描述及用数学语言表达；对问题能进行比较、判别和讨论等。

掌握：对知识内容能进行推导证明；能对问题进行分析、研究和讨论。

现在高考数学的命题趋势就是减少了解层次的题目，加大理解层次的知识、题目比例。

比如这次八省联考，除了引入多选题以外，还有结构不良试题等新题型。结构不良试题具有很好的开放性，对数学理解能力、数学探究能力的考查能够起到积极的作用。

为了应对，在平时的学习中，一定要注意不要只就题论题，而是要侧重于通过练习提高能力！

要注意暴露解题的思维过程，想清楚为什么这样做？

注意总结解题规律，提炼思想方法，举一反三，触类旁通。

加强变式训练。适当进行一题多解和一题多变的训练，提高解题的灵活性，开拓解题思路。

好了，写了这么多，希望对大家有用。