学习乘法，请教会孩子画图

今天来谈谈画图这件事。能用算式、图形、表格表达数学关系是一种能力，也是一种训练方法。多种表达方式有助于儿童深入理解一个概念，同时会更加有利于进入中学后学习代数。

数形结合不仅仅是一种思想，更可以看成是一种训练方式，理应在小学阶段就重视起来。

但我们小学阶段由于过份重视计算的“术”，包括速度和进度，没有太多时间和精力花费在帮助孩子建立良好的“数形结合”的能力上，所以大部分学生都没有建立良好的表征能力（甚至连算式表征能力都有问题），这会影响到孩子对概念理解的完整度和深度，当然更重要的是（在我看来）思考的方式没有得到优化提升。

我在三阶段入门测试中设计了这样一道题目：

至少一半以上的孩子不能观察出图形与算式之间的规律；有一半孩子第1小题的图能够画对，但第2小题的图不能正确的表达出来；其中能够用图表达出被13整除的孩子，也只有极个别能够从第1小题的图转化而来。

一些孩子用下面这样的图来表示能被13整除（我模仿孩子画的示意图），与第1小题的图完全无关：

4*13是我写上的，很多孩子画出一堆堆的“13”，但并没有把它们组织成一个矩形，他们可能更加侧重于让你一眼看出“13”，因为两行5加一个3更加一目了然，却忽视了乘法结构（这也是课本的问题，很多图式忽视了结构性）。

有些孩子能够把第2小题与第1小题联系起来，画出清晰的矩形图，比如下面这样的图：

还有的孩子不仅可以画出这样的矩形图，而且还试图表示出第1小题的图与第2小题图之间的关系，是如何组合到一起的：

我依稀记得似乎只有一个孩子能够看出，第1小题里面的一组图旋转180度后可以与另一组图嵌合形成4*13。

那些能够通过图形观察出被哪些数整除的孩子，在四年级这个阶段，已经很了不起了。而五年级的孩子由于已经学习了数的整除，大多数会从计算结果去推理，而不是图的角度。

除了这个测试的结果，包括通过其他年级孩子的错题，解题思路分析来看，在早期刚刚学习乘法的时候，要是能够嵌入对乘法结构的图式训练是一件极为重要的事，因为这样可以帮助他们对乘法的理解更加深入。实际上，我之所以设计这样的测试，正是因为发现大部分儿童在这方面的欠缺，儿童对于“数”与“形”的认识理解是剥离的，尽管他们可能能够看懂书本上的图，但他们不会画，也不会思考其结构上的关联（但其实他们明明是可以的）。

乔·博勒在《这才是数学》中举过这样一个例子：

如果我们不用几何的方式表达，也可以让孩子写出所有两个数相乘积等于20的乘法算式，不过通过结合图形，我们更容易让孩子观察到“此消彼长”的规律。

如果根据上图的提示，用枚举法，让孩子依次算出每个矩形的面积，长宽扩大两倍后也都算出每个矩形的面积，是通过比较面积（一个个数），来发现其中的规律。

如果我们让孩子用积木摆出来，或者画出这样的图，是通过图形的变化规律，结合乘法结构来发现其中的规律和联系。

无论你画出一个怎样的矩形，长宽扩大2倍，都意味着我们要增加三个同样大小的矩形。因此面积可以看成是图中阴影部分面积的4倍，或者说是（2*2）个这样的矩形。我们同样可以通过代数的方式，从面积公式的推理中获得。

这种方式需要儿童既对图形的组合熟悉（包括非标准单位测量的经验），又对乘法结构熟悉，以及由此深化对面积的理解。同理我们对于体积也可以如此操作。

要达到熟练运用，表征流畅的程度，我的建议是，如果有条件（孩子适龄家长有精力），父母应该在儿童学龄前开始就注重让儿童观察图形构成的规律，可以通过摆积木，或者任何你手边有的材料，都可以构成有规律的图形，下面这个视频就是一个例子，视频中采用了多种常见的玩具（道具），不需要采用特殊教具，就能让儿童认识正方形与三角形的图形模式，在学龄前时期，虽然我们也可以增加一些数量关系上的引导，但重点仍然是落在“形”的模式规律上。

再来看小学生学习乘法时，我们可以采取的一些画图方式：

类包含的结构图是最早可以采用的，不管你画矩形也好，画圆圈也好，只要能够表现乘法的层级结构，都可以（我个人倾向于用矩形表示，会更加清晰看出层次性）。

其次就是点阵图（方阵图），类似前面测试题中画小圆圈这样的方式，你画成“点”，“小三角形”，或者任何你觉得比较顺手的图形都可以，在这样的方格纸中进行就可以。

再来看呈现的几种图，第一种图，由于只有一层结构，所以你可以看成是点阵图（只不过我用一个个小方块来表示），在刚刚学习乘法的时候就可以采用，也很容易去讲解交换律，这种形式也是最接近实物的形式，和前面视频中低幼儿童采取的摆实物是类似的。

后面我们就可以抽象为“表格”形式，也可以理解为把乘法与面积模型结合起来，更能体现出数形结合的特点。

进而这种“矩形”画格子的图形，可以用来理解分数，以及比例关系。这个过程中图形可以很好的帮助孩子理解“整体”，以及“整体部分的相对性”。

很多人觉得，课本上有啊，老师上课也讲过，但是我不认为那是一种训练，很多时候教师（课本）只是单方面从教学的角度，把这种形式作为教师的技巧，而并没有上升到针对儿童的“训练”。

训练就包括了：

这样训练的目的：