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认知即思索:什么是洛希极限?(上)

许多人受科幻小说的影响,对洛希极限产生了误解,提起洛希极限,我们就不得不说明潮汐力,惯性力和万有引力以及星体解体之间的各种关系。

地球是一个离心率很小的椭球体,这是人尽皆知的事情,离心率近似为(肉眼看上去长得和球没什么两样)。它之所以是椭球体,主要原因是地球上所有质点都绕轴旋转,从而产生了惯性离心力。

当然它也受到月球和太阳等引力的影响,但相对于地球自转来说都次要因素。

说了上面这一大堆,这和洛希极限有什么关系呢?

我们在分析和推导过程中,总是把不规则的陨石/彗星看做“椭球体”,而实际上它往往是不规则的。有些人认为洛希极限是造成陨石裂解的原因,这样说有些草率,原因在于没有考察初始条件是什么,以及对公式的片面理解。还有人令“潮汐力和万有引力相等去求洛希极限,我们就先说一下什么是潮汐力

潮汐现象主要是月球造成的(太阳也能造成潮汐力,不如月球强烈)。如图 2,我们设地球半径为 re,地球质量为Me,月球的质量为Mmoon .地心到月心的距离为r地月,定性地看就能知道赤道附近的潮汐力最强。

两点差值为:

人们在作近似处理的时候,直接令这个差值

笔者认为这样存在许多问题。原因是把地球近似成了一个“水球”,实际上海洋只覆盖了地球很浅的一部分,这个差值明显小于r地。甚至不需要用差值解释,对于扁椭球的地球,越是靠近月球的海水Δm,其引力就越大,所形成的落差如下图所示(用引力势的办法也可以导出该矢量图):

许多人写公式,只是做些加减微积草草了事,却不去仔细思考那些公式究竟意味着什么,也不去严格地讨论其适用范围究竟是什么:该公式是在什么前提条件下导出的,推导过程中做了何种近似?又有哪些具体的限制其成立的条件?有些人甚至用一种条件下导出来的公式,直接去解释另一个条件下的现象,这样做的后果是可想而知的。比如人们在推导所谓的刚性洛希极限就经常犯张冠李戴的谬误。

我们拿地球作为例子,设地球质量为M,某个外天体的质量为M外,当地球中心到该天体中心的距离为R时,质量为Δm的物体刚好将要脱离地球表面,忽略地球的自转,则有:

首先,这里R必须远大于r地,因为如果该距离地球相对很近的时候,地球上物体的受到的就不再是标准的潮汐力而是小于万有引力

但又大于潮汐力

的引力,这时,大天体不规则的几何形状不能再作为简单质点去对待。同时,我们还应当注意,如果上面的等式能够成立,必须满足,原因正是因为R远大于r地:

如果上面的条件都成立,再令

,解这个等式就能得到:

这就是刚体洛希极限

我们应当注意,它并不能说明“小行星撞击地球时,洛希极限可以有效防止小行星的裂解。”这件事。原因就在于该公式仅来源于描述大质量天体(比如太阳)对地球的影响。

那么什么可以解释小行星相关呢——我们必须用到所谓的“流体洛希极限”。它可以用来描述小行星/陨石/彗星的裂解问题。当然,它也可以描述大质量天体(只不过大质量天体不断靠近的问题在太阳系里是不存在的,也只有科幻小说里才能出现,比如流浪地球里讲的木星-地球洛希极限(但电影里讲的10^7km是错误的,正确结果应该是10^5km。 至于什么是流体洛希极限,我们会在下一章讲到。

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