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怎样解题表

一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。

——波利亚

怎样解题表

一、理解题目

1.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

2.画张图。引入适当的符号。

3.把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

二、拟定方案

1.你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

2.你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

3.观察未知量！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

4.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗? 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

5.你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义。

6.你若不能解这个问题，试着先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题么？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解问题的一部分吗？

7.你用了全部条件吗？

三、执行方案

1.执行你的解决方案，检查每一个步骤。

2.你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

四、回顾反思

1.你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？

2.你能以不同的方式推到这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？

3.你能再别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?

波利亚的《怎样解题》

第一次印刷序

一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决了它，那么你就能经历那种紧张状态，而且享受那种发现的喜悦。在一个易受外界影响的年龄段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。

因此，一位数学教师就有着很大的机会。如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错失他的良机。相反地，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。

如果一个学生的大学课程中包含了某些数学科目，那么他也就有了一个独特的机会。当然，如果他把数学看成是一门这样的课程，他必须从中得到多少多少学分，而在期末考试后则应尽可能快地把它遗忘掉，那么他就失掉了这个机会。即使这个学生数学上有些天赋，他也有可能会失掉这一机会，因为和任何其他人一样，他必须去发现他自己的天赋和兴趣。要是他从未尝过树莓馅饼，他也就不可能知道自己会喜欢树莓馅饼。然而，他却有可能发现一道数学题目会如同一个纵横字谜游戏一样有趣，或者发现充满活力的思维练习就像一场激烈的网球比赛一样令人神往。在尝到了数学带来的乐趣以后，他就不会轻易地忘记，于是数学就很有机会成为他生活中的一部分：一种爱好，或者他专业工作中的一种工具，或者是他的职业，或者是一种崇高的抱负。

作者还记得自己的学生时代，那时他还是一个有点雄心的学生，渴望能懂一点数学和物理学。他听课、看书，试图领会所给出的解答及事实。但是有一个问题却一再困扰着他：“是的，这个解答看来是行的，它似乎是正确的，但怎样才能想到这样一个解答呢？是的，这个实验看起来可行，这似乎是事实，但是人们怎么会发现这些事实的？而我自己如何才能想到或发现它们呢？”

如今，作者正在一所大学中教授数学。他认为，或者说他希望，他的一些更努力的学生能提出类似的一些问题，他会尽力去满足他们的好奇心。不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要去理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤，这就最终导致他写了现在这本书。作者希望本书对于那些期望提高学生解题能力的教师，以及对于渴望提高个人能力的学生都会有用。

虽然本书特别关注对数学专业的学生和教师的要求，但它也应能引起任何关心创造和发现的各种途径和方法的人的兴趣。这种兴趣可能比一个人不经过思考而随意设想的要广泛得多。在那些流行的报纸和杂志上由纵横字谜游戏及其他谜语所占的篇幅似乎说明，人们会在解不合实际的题目上花费时间。在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望。

本书写得有些简明扼要，但又尽可能浅显，并且是根据作者对求解方法的长期认真严肃的研究来写就的。这种研究方法被某些作者称为探索法，虽然现在它已经不再那么流行了，但是它有过一段很长的历史，而且也许还会有其将来。

通过研究解题的方法，我们察觉到了数学的另一面。是的，数学具有两个面，它既是欧几里得的严谨的科学，但同时也是别的什么。以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创造过程中的数学从未完全以这种方式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。

关于探索法的这一主题和各个方面都有着联系。因此数学家、逻辑学家、心理学家、教育家，甚至哲学家都会提出将它的各个不同部分纳入他们各自的专门领域。由于充分认识到对立方有可能会提出批评，并敏锐地意识到自己的局限性，作者要做一点声明：在解题及教授各种层次的数学方面，作者都有一定的经验。

此主题在作者的一本即将完成的、内容更为宽泛的书中有了更为充分的阐述。

1944年8月1日

于斯坦福大学

第二版序

除了一些小的改进外，第二版新增了第四部分：题目、提示、解答。

在本版即将付印之际，出现了一篇论文，它似乎系统地提出了一些中肯的意见，虽然这些意见对于知情者来说已了无新意，但是向公众表述它们却正是时机：“......数学的声誉令人怀疑，它是专业课程中最不受欢迎的一门......未来的教师在小学毕业时变得憎恶数学了......当他们回到小学去执教时，又教出痛恨数学的下一代。”

我希望为使本书有更广大的读者面而修订的这一版，能使一些读者确信，数学除了作为通向工程工作和科学知识的必由之路以外，还可能有乐趣，并能为最高水平的智力活动开辟一个前景。

1956年6月30日

于苏黎世

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