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Johnson算法「建议收藏」

启示号
教育
9个月前
113

Johnson算法可以在O(V*V lgV + VE)的时间内找到所有节点对之间的最短路径，对于稀疏图来说，算法的渐进表现要由于重复平方法和FloydWarshall算法，如果图没有权值为负值的环路，则返回所有结点对的最短路径权重的矩阵，否则，报告图有权值为负的环

算法中运用diskra、BellmanFord算法，使用的技术是重新赋予权重，

如果图G = （V, E）中权值全为非负值，则通过对所有结点运行一次dijkstra算法找出所有结点对的最短路径，

如果有非负值，但没有权重为负值的环路，那么只要计算出一组新的非负权重值，然后再用相同的方法即可。

对于将负值权重转换为非负值使用的方法是，在原图上新加一个结点s，并将w(s, v) == 0，然后对s运行BellmanFord函数计算出s到其他点的最短路径，

运用一个h[vexnum]数组存放这个值，h[i] = σ(s, v),即s到v的最短路径值。

这个值相当于将每个结点赋予一个一个值，这些值用于重新计算边的权重ww(u, v) = w(u, v) + h(u) – h(v),重新计算出来的权重即为非负值。

以下是代码的运行过程图，书410页：

Johnson算法「建议收藏」

以下为代码：

    import java.util.*;  
public class Johnson{  
static final int MAX = 20;  //最大点数  
static int[][] g;  
static int[] h = new int[MAX];  
//  static LinkedList<Elem> S = new LinkedList<Elem>();    
static PriorityQueue<Elem> Q = new PriorityQueue<Elem>(); //Q = V-S    
static ArrayList<Elem> nodes = new ArrayList<Elem>();  
static int[][] D;  
static int ver;  //节点数  
static int edge; //边数  
static final int BELLMAN_FORD = 1;  
static final int DIJKSTRA = 2;  
/************全局数据结构****************/  
static class Elem implements Comparable<Elem>    
{    
public int s; //节点编号   
public int d;  //与源节点距离  
public Elem(int s,int d){    
this.s = s;    
this.d = d;    
}  
public int compareto(Elem e){return d - e.d;}    
}  
/***********以下是Johnson算法实现*******************/  
static void johnson(){  
int s = ver; //新添加一个节点  
int[][] g_new = new int[ver+1][ver+1];  
for(int u = 0;u < g_new.length;u++){  
for(int v = 0;v < g_new.length;v++){  
if(v == g.length){g_new[u][v] = Integer.MAX_VALUE;continue;}  
if(u == g.length){g_new[u][v] = 0; continue;}  
g_new[u][v] = g[u][v];  
}  
}  
if(bellman_ford(g_new,s) == false) {System.out.println("circle exist");return;}  
for(Elem e:nodes) h[e.s] = e.d;  
System.out.println("h[v]: from 0 to n");  
for(int i = 0;i<g.length;i++) System.out.print(h[i]+" "+'\t');  
System.out.println();  
for(int u = 0;u < ver;u++){  
for(int v = 0;v < ver;v++){  
if(g[u][v] == Integer.MAX_VALUE) continue;  
g[u][v] = g[u][v] + h[u]-h[v];  
}  
}  
System.out.println("G' :");  
initD(g);  
print(g);  
for(int u = 0;u < ver;u++){  
dijkstra(g,u);  
for(int v = 0;v < ver;v++){  
if(nodes.get(v).d == Integer.MAX_VALUE) continue;  
D[u][v] = nodes.get(v).d + h[v] - h[u];  
}  
}  
System.out.println("D[i][j]: shortest path from i to j");  
print(D);  
}  
public static void main(String[] args){  
input();  
johnson();  
}  
/***初始化函数：可用于Bellman-Ford与Dijkstra的初始化*******/  
static void init(int[][] g,int source,int mode){   
nodes.clear();   
for(int i=0; i < g.length;i++){    
//初始S为空，Q为全部节点    
Elem e = new Elem(i,Integer.MAX_VALUE);    
nodes.add(e);    
if(i == source && mode == DIJKSTRA) Q.add(e);  
}  
nodes.get(source).d = 0;  
}  
static void initD(int[][] g){      
for(int i = 0;i < g.length;i++)      
for(int j = 0;j < g.length;j++){      
D[i][j] = g[i][j];      
}      
}      
/*********以下是Bellman-Ford实现***********/  
static boolean bellman_ford(int[][] g,int source){      
init(g,source,BELLMAN_FORD);     
int s=0,e=0,w=0;        
for(int i=0;i < g.length-1;i++){      
//对所有的边进行松弛操作  
for(int u = 0;u < g.length;u++){  
for(int v = 0;v < g.length;v++){  
if(g[u][v] == Integer.MAX_VALUE||nodes.get(u).d == Integer.MAX_VALUE) continue;  
nodes.get(v).d = Math.min(nodes.get(v).d, nodes.get(u).d + g[u][v]);  
}  
}  
}      
//遍历每条边      
for(int u = 0;u < g.length;u++){  
for(int v = 0;v < g.length;v++){   
if(g[u][v] == Integer.MAX_VALUE||nodes.get(u).d == Integer.MAX_VALUE) continue;  
if(nodes.get(v).d > nodes.get(u).d + g[u][v]) return false;  
}  
}      
return true;      
}  
/************以下是Dijkstra实现*************/  
static void dijkstra(int[][] g,int source){    
init(g,source,DIJKSTRA);  
while(Q.size() > 0){    
Elem u = Q.poll();    
//          S.add(u);    
for(int v = 0;v < g.length;v++){    
if(g[u.s][v] != Integer.MAX_VALUE && nodes.get(v).d > u.d + g[u.s][v]){    
Elem nv = nodes.get(v);    
//下面删除后添加是为了使PriorityQueue能够重新调整    
Q.remove(nv);    
nv.d = u.d + g[u.s][v];    
Q.offer(nv);    
}    
}    
}  
}  
/**************用于获取输入数据，初始化图G的***************/  
static void input(){    
Scanner cin = new Scanner(system.in);    
System.out.println("请输入 点数 边数");    
ver = cin.nextInt();    
edge = cin.nextInt();    
g  = new int[ver][ver];  
D = new int[ver+1][ver+1];  
int s,e,w;  
for(int i = 0;i < ver;i++){  
for(int j = 0;j < ver;j++) {g[i][j] = Integer.MAX_VALUE;}  
}  
System.out.println("起点 终点 权值");    
for(int i=0;i<edge;i++){    
s = cin.nextInt();    
e = cin.nextInt();    
w = cin.nextInt();    
g[s][e] = w;    
}    
}  
/************打印前驱矩阵**************/  
static void print(int[][] g){  
for(int u = 0;u < ver;u++){  
for(int v = 0;v < ver;v++){  
if(g[u][v] == Integer.MAX_VALUE){System.out.print("inf\t"); continue;}  
System.out.print(g[u][v]+""+'\t');  
}  
System.out.println();  
}  
}  
}

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C++版:

/************************************************************ 
Johnson.h: Johnson算法，存储为邻接表， 
Date: 2014/1/5 
Author: searchop 
************************************************************/  
#ifndef ALGRAPH_H  
#define ALGRAPH_H  
#include <vector>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#include <functional>  
using namespace std;  
//邻接表的结构  
struct ArcNode          //表结点  
{  
int source;        //图中该弧的源节点  
int adjvex;        //该弧所指向的顶点的位置  
ArcNode *nextarc;  //指向下一条弧的指针  
int weight;         //每条边的权重  
};  
template <typename VertexType>  
struct VertexNode           //头结点  
{  
VertexType data;    //顶点信息  
ArcNode *firstarc;  //指向第一条依附于该顶点的弧的指针  
int key;            //Prim:保存连接该顶点和树中结点的所有边中最小边的权重;   
//BellmanFord:记录从源结点到该结点的最短路径权重的上界  
VertexNode *p;      //指向在树中的父节点  
int indegree;       //记录每个顶点的入度  
};  
const int SIZE = 6;  
//图的操作  
template <typename VertexType>  
class ALGraph  
{  
public:  
typedef VertexNode<VertexType> VNode;  
ALGraph(int verNum) : vexnum(verNum), arcnum(0)  
{  
for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; i++)  
{  
vertices[i].firstarc = NULL;  
vertices[i].key = INT_MAX/2;  
vertices[i].p = NULL;  
vertices[i].indegree = 0;  
}  
}  
//构造算法导论410页图（带权有向图）  
void createWDG()  
{  
cout << "构造算法导论410页图（带权有向图）..." << endl;  
int i;  
for (i = 1; i < vexnum; i++)  
vertices[i].data = 'a' + i - 1;       
insertArc(1, 2, 3);  
insertArc(1, 3, 8);  
insertArc(1, 5, -4);  
insertArc(2, 4, 1);  
insertArc(2, 5, 7);  
insertArc(3, 2, 4);  
insertArc(4, 3, -5);  
insertArc(4, 1, 2);  
insertArc(5, 4, 6);  
}  
void createG()  
{  
cout << "构造图G'...." << endl;  
vertices[0].data = 's';  
insertArc(0, 1, 0);  
insertArc(0, 2, 0);  
insertArc(0, 3, 0);  
insertArc(0, 4, 0);  
insertArc(0, 5, 0);  
}  
//Johnson算法，先使用BellmanFord算法，使所有的边的权重变为非负值，  
//然后运用dijkstra算法求出结点对的最短路径  
int **Johnson()  
{  
createG();          //构造G’  
displayGraph();  
if (!BellmanFord(1))  
cout << "the input graph contains a negative-weight cycle" << endl;  
else  
{  
int h[SIZE];  
int i, j, k;  
//将数组h[]的值设为运行BellmanFord后取得的值，h[i]为结点s到其他点的最短路径  
for (i = 0; i < vexnum; i++)  
h[i] = vertices[i].key;  
//遍历所有的边，将边的权值重新赋值,即将所有的边的权值改为负值  
for (i = 0; i < vexnum; i++)  
{  
ArcNode *arc = vertices[i].firstarc;  
for (; arc != NULL; arc = arc->nextarc)  
arc->weight = arc->weight + h[arc->source] - h[arc->adjvex];  
}     
以下为代码：  
cout << "改变权重后的图为：" << endl;                                                                                                                     displayGraph();  
int **d = new int *[SIZE];  
for (j = 0; j < SIZE; j++)  
d[j] = new int[SIZE];  
//对每个结点运行dijkstra算法，求出每个点到其他点的最短路径，保存在key中  
for (k = 1; k < SIZE; k++)  
{  
Dijkstra(k+1);  
for (i = 1; i < SIZE; i++)  
d[k][i] = vertices[i].key + h[i] - h[k];  
}  
cout << "最后计算出的结点对的最短距离：" << endl;  
displayTwoDimArray(d);  
return d;  
}  
}  
//输出一个二维数组  
void displayTwoDimArray(int **p)  
{  
for (int i = 0; i < SIZE; i++)  
{  
for (int j = 0; j < SIZE; j++)  
cout << p[i][j] << " ";  
cout << endl;  
}  
cout << "~~~~~~~~~~~~~~~" << endl;  
}  
//打印邻接链表  
virtual void displayGraph()  
{  
for (int i = 0; i < vexnum; i++)  
{  
cout << "第" << i+1 << "个顶点是：" << vertices[i].data  
<< " 顶点的入度为：" << vertices[i].indegree << " 邻接表为: ";  
ArcNode *arcNode = vertices[i].firstarc;  
while (arcNode != NULL)  
{  
cout << " -> " << vertices[arcNode->adjvex].data  
<< "(" << arcNode->weight << ")";  
arcNode = arcNode->nextarc;  
}  
cout << endl;  
}  
cout << "*******************************************************" << endl;  
}  
//PVnode排序准则  
class PVNodeCompare  
{  
public:  
bool operator() (VNode *pvnode1, VNode *pvnode2)  
{  
return pvnode1->key > pvnode2->key;  
}  
};  
//对每个结点的最短路径估计和前驱结点进行初始化，最短路径初始化为INT_MAX, p初始化为NULL  
//并将源节点的key初始化为0  
void InitalizeSingleSource(int index)  
{  
for (int i = 0; i < MAX_VERTEX_NUM; i++)  
{  
vertices[i].key = INT_MAX>>2;  
vertices[i].p = NULL;  
}  
vertices[index].key = 0;  
}  
//对边（u, v）进行松弛，将目前s到v的最短路径v.key与s到u的最短路径加上w(u, v)的值进行比较  
//如果比后面的值还大，则进行更新，将v.key缩短，并且将p置为u  
void relax(ArcNode *arc)  
{  
//竟然溢出了！！  
if (vertices[arc->adjvex].key > vertices[arc->source].key + arc->weight)  
{  
vertices[arc->adjvex].key = vertices[arc->source].key + arc->weight;  
vertices[arc->adjvex].p = &vertices[arc->source];  
}  
}  
//BellmanFord, index为实际第几个点  
bool BellmanFord(int index)  
{  
InitalizeSingleSource(index-1);  
for (int i = 1; i < vexnum; i++)     //循环共进行vexnum-1次  
{  
//遍历所有的边，并对每个边进行一次松弛  
for (int j = 0; j < vexnum; j++)  
{  
for (ArcNode *arc = vertices[j].firstarc; arc != NULL; arc = arc->nextarc)  
relax(arc);  
}  
}  
//再次遍历所有的边，检查图中是否存在权重为负值的环路，如果存在，则返回false  
for (int j = 0; j < vexnum; j++)  
{  
for (ArcNode *arc = vertices[0].firstarc; arc != NULL; arc = arc->nextarc)  
{  
if (vertices[arc->adjvex].key > vertices[arc->source].key + arc->weight)  
return false;  
}  
}  
cout << "BellmanFord求出的单源最短路径：" << endl;  
for (int i = 1; i < vexnum; i++)  
{  
printPath(index-1, i);  
}  
cout << "**************************************************" << endl;  
return true;  
}  
void Dijkstra(int index)  
{  
InitalizeSingleSource(index-1);  
vector<VNode> snode;       //保存已经找到最短路径的结点  
vector<VNode *> que;       //保存结点的指针的数组，用这个数组执行堆的算法  
//将结点指针进队列，形成以key为关键值的最小堆  
for (int i = 0; i < vexnum; i++)  
que.push_back(&(vertices[i]));  
//使que按照pvnodecompare准则构成一个最小堆  
make_heap(que.begin(), que.end(), PVNodeCompare());     
while (que.empty() == false)  
{  
//将队列中拥有最小key的结点出队  
VNode *node = que.front();  
pop_heap(que.begin(), que.end(), PVNodeCompare());   //从堆中删除最小的结点，只是放到了vector的最后  
que.pop_back();      //将vector中的这个结点彻底删除，因为后面还要再排序一次，以免影响后面的堆排序，pop算法。  
snode.push_back(*node);  
for (ArcNode *arc = node->firstarc; arc != NULL; arc = arc->nextarc)  
relax(arc);  
make_heap(que.begin(), que.end(), PVNodeCompare());  
}  
cout << "Dijkstra求出的单源最短路径：" << endl;  
for (int i = 1; i < vexnum; i++)  
{  
if (i != index-1)  
printPath(index-1, i);  
}  
cout << "**************************************************" << endl;  
}  
protected:  
//插入一个表结点  
void insertArc(int vHead, int vTail, int weight)  
{  
//构造一个表结点  
ArcNode *newArcNode = new ArcNode;  
newArcNode->source = vHead;  
newArcNode->adjvex = vTail;  
newArcNode->nextarc = NULL;  
newArcNode->weight = weight;  
//arcNode 是vertics[vHead]的邻接表  
ArcNode *arcNode = vertices[vHead].firstarc;  
if (arcNode == NULL)  
vertices[vHead].firstarc = newArcNode;  
else  
{  
while (arcNode->nextarc != NULL)  
{  
arcNode = arcNode->nextarc;        
}  
arcNode->nextarc = newArcNode;  
}  
arcnum++;  
vertices[vTail].indegree++;         //对弧的尾结点的入度加1  
}  
//打印源节点到i的最短路径  
void printPath(int i, int j)  
{  
cout << "从源节点 " << vertices[i].data << " 到目的结点 "  
<< vertices[j].data << " 的最短路径是：" /*<< endl*/;  
__printPath(&vertices[i], &vertices[j]);  
cout << " 权重为：" << vertices[j].key << endl;  
}  
void __printPath(VNode* source, VNode* dest)  
{  
if (source == dest)  
cout << source->data << "->";  
else if (dest->p == NULL)  
cout << " no path！" << endl;  
else  
{  
__printPath(source, dest->p);  
cout << dest->data << "->";  
}  
}  
private:  
//const数据成员必须在构造函数里初始化  
static const int MAX_VERTEX_NUM = 20;  //最大顶点个数  
VNode vertices[MAX_VERTEX_NUM];      //存放结点的数组  
int vexnum;             //图的当前顶点数  
int arcnum;             //图的弧数  
};

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