一道中考数学压轴题，第三问难度较大，满分不易

下面是一道2017年陕西中考数学的压轴大题，满分12分，共三问，前两问相对简单一点，第三问综合性较强，要想拿到满分还是很不容易的，不妨来试试你能拿到多少分呢？

问题提出

（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为（ ）；

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

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【分析】（1）构建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°，可得OA的长；

（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用勾股定理进行计算即可；

（3）如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：

在Rt△AOD中，r²=12² （r﹣8）²，解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论．

【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=1/2AC=1/2×12=6，

∵O是内心，△ABC是等边三角形，

∴∠OAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°，

在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=AD/OA，

∴OA=4√3，

故答案为：4√3；

（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴CQ=AP=3，

过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，

由勾股定理得：PQ=12√2；

（3）如图3，作射线ED交AM于点C

∵AD=DB，ED⊥AB，弧AB是劣弧，

∴弧

B所在圆的圆心在射线DC上，

假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=1/2AB=12，

在Rt△AOD中，r²=12² （r﹣8）²，

解得：r=13，

∴OD=5，

过点M作MN⊥AB，垂足为N，

∵S△ABM=96，AB=24，

∴1/2AB·MN=96，

1/2×24×MN=96，

∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵CD∥MN，

∴△ADC∽△ANM，

∴DC:MN=AD:AN，

∴DC=16/3，

∴OD＜CD，

∴点O在△AMB内部，

∴连接MO并延长交AB弧于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，

∵在AB弧上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，

∴MF=OM OF=OM OG＞MG，

即MF＞MG，

过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，

∴OM=√（MH² OH²）=3√5，

∴MF=OM r=3√5 13≈19.71（米），

答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．

本题是圆的综合题，综合性非常强，考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理、等边三角形的性质及内心的定义、特殊的三角函数值、矩形的性质等知识，明确在特殊的四边形中将面积平分的直线一定过对角线的交点，本题的第三问比较复杂，辅助线的作出是关键，根据三角形的三角关系确定其最大射程为MF．