一道有趣的初中几何题，已知两个角是30度和45度，求一个非特殊角

如图，∠ADB=30°，∠ACB=45°，AC=CD。求∠A的值。

△ACB和△ADB虽然各有一个特殊角，但却并非特殊三角形，如何入手呢？

分析：遇到这样的题目，有一个30°角和一个45°角，丝毫不用犹豫，肯定是要构建一个直角三角形。

先试着过点A做BC的垂线，这样虽然用到了∠ACB=45°的特点，但似乎跟AC=CD这个条件没啥关系。

再试着过点A做BD的垂线，交BD于点E，这样就构建了一个Rt△AED，且其中一个角是30°角。这时能够发现点C是Rt△AED斜边的中点，连接EC，如图所示。

易得：在Rt△AED中，∠ADB=30°，所以AE=1/2AD；

点C是斜边的中点，所以EC=AC=CD；

则有AC=CD=AE=EC。

于是△AEC是等边三角形，∠CAE=60°

在△BCD中，∠BCD=180°-45°=135°，

可得∠CBD=180°-135°-30°=15°；

同时易得∠BCE=60°-45°=15°，

所以△BEC是等腰三角形，BE=EC；

同时在△ABE中，可知AE=BE，所以△ABE是等腰直角三角形，∠B
AE=45°

所以∠BAD=60°+45°=105°。

总结：题目的关键点在于两点，一是根据已知条件，构建直角三角形，这是这类题目必然的；二是掌握直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。掌握这两点，题目就迎刃而解。