初二奥数精讲——第12讲 应用问题（二）

本讲适用于初二、初三，因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目，所以只要有课堂上基本的知识储备，都可以一起来学习，相信对你的奥数、数学思维，解题思路都大有裨益。

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一、知识点解析

1.基本知识

解应用问题的步骤：

（1）将问题中的每一个条件都用一个等式表示。

（2）在这些等式中选择一个量为未知数，利用若干等式将其他量都用未知数表出。

（3）利用剩下的一个等式（称为主关系）列方程。

（4）解方程。

（5）答题。

常用关系：

路程=时间×速度；

顺流速度=航速+水速，逆流速度=航速-水速；

完成工作总量=工作时间×工作效率（单位时间内完成的工作量，即进度）；

溶液（混合物）=溶质+溶剂；

百分比浓度=溶质/溶液=溶质/（溶质+溶剂）；

物品总数=参与分配单位数×每个单位所分物品数；

盈利=售价-成本价；

盈利率（盈利百分比）=盈利/成本=（售价-成本）/成本；

增长数=原计划数×增长率；

2.基本方法

如何设未知数，设未知数的原则，是要使其他的量易于用含未知数的式子表出。由此可知，在公式A=B×C中，当知道其中一个因数，比如C=k，则应选择另一个因数B为未知数x，这样，量A则易用于x表示：A=kx.

如何建立方程：先确定问题中含有的所有变量，再建立这些变量间的所有等量关系，包括题目条件直接给出的和问题的实际意义隐含的，再根据设未知数的原则，确定一个（或几个）变量为未知数，然后利用所列等式将其他变量用未知数表示。最后将所得的表达式代入剩下的一个等式即得到方程。

3.基本问题

单运动体的形成问题（改变形成计划问题）：注意两种不同方式行走相同的路程。

双运动体的形成问题（追及问题）：注意两运动体行走不同路线所花时间相等或者注意两种运动体在不同时间内行走的路程相等。

工程问题：注意寻找单位时间内完成的工作量。

浓度（密度）问题：一是注意浓度改变时可能溶质不变（在溶液中添加溶剂）或者溶剂不变（在溶液中添加溶质）。二是注意“倒出”某种浓度的溶液中含有多少溶质。

分配问题：注意同样数量的物品按不同方式进行分配。

盈利、增长率问题：设原有数位A，每时段的增长率为x，则经过k个时段后得到A(1+x)k。

数字问题：关键是将自然数用各位上的数码为系数的关于10的幂的多项式形式表示。

牛吃草问题：关键是计算每头牛在单位时间单位面积的实际吃草量。

这部分主要考察学生的应用题的了解及掌握。应用题是代数部分的综合应用，这部分题型种类繁多，具有其自身的解题特点，会融合实际问题、整数等多种知识点，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1 （陕西省中考题）

甲、乙两地间的路一部分是上坡路，其余都是下坡路。某邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分钟，从乙地到甲地少用20分钟，已知他骑自行车走下坡路比走上坡路每小时多走6千米，又甲、乙两地相距36千米，求他骑自行车上坡、下坡的速度以及甲地道乙地上、下坡的长度。

分析：用整体思想，从整体上考虑，自行车在甲、乙之间往返一次共需5小时，且上坡路、下坡路各走36千米。

解答：

例2

某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体分别为A、B两组。A组先乘车，B组先步行。A组到途中某处下车步行，汽车返回接B组，已知步行时速8千米，汽车时速40千米。问：要使大家在下午4点同时到达乙处，必须在什么时候出发？

分析：同时到达，两组步行的路程相等。

解答：

设A组乘车的路程为x千米，乙组上车时，乙组和汽车合并走了2x千米，所以乙组步行的时间为2x/(40+8) = x/24.

由于两组同时到达，所以两组步行的路程相等，所以

x/24×8 = 100 – x.

解得 x=75.

所以，从甲地到乙地的时间为 x/40 + (100 - x)/8 = 5.

答：要使大家在下午4点同时到达乙处，必须在中午11时出发。

例3

小明一次看手表时，发现时针与分针恰好重合，他突然想：他们下一次重合需要经历多少时间？

例4（河北省中考题）

某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。

例5

草原上12头牛4周共吃草亩，同样牧草，21头牛吃9周，共吃10亩。问：24亩地

的同样牧草，可供多少头牛吃18周？

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