「数学思维训练」反直觉的数学问题08 - 卡拉数学

你的数学直觉怎么样？你能凭借直觉，迅速地判断出谁的概率大，谁的概率小吗？我们将连载这种反直觉的有趣数学问题。如果你感兴趣的话，你可以先试着用直觉来判断，再详细分析答案，看看你猜对了多少。

不知不觉我们已经到了第八期连载，想了解往期题目的读者，可以关注我们之后搜索历史文章哦。

我们来开始今天的题目：

18．小明走进一家赌场，来到了轮盘赌跟前。轮盘赌的转盘上有 38 个格子，上面分别标着 0, 00, 1, 2, 3, …, 36 。游戏开始后，一个白色小球会逆着轮盘旋转的方向滚动，最终等概率地落入 38 个格子中的一个。小明每次可以在任意一个格子上下 1 元的赌注。如果小球落入了小明所选的格子里，则小明赢得 36 元（但那 1 元钱的赌注仍然归赌场）；如果小球落入了别的格子里，则小明什么也得不到（那 1 元也就打水漂了）。小明身上只有 105 元钱，于是，他连续赌了 105 次。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？

A．小明赚着离开了赌场
B．小明亏着离开了赌场
C．上述两种情况的出现概率相同

花 1 元赌某一个格子，中签的概率是 1/38 ，但却只能赢来 36 元。毫无疑问，轮盘赌是一个赤裸裸的对赌场更有利的赌博游戏。所以，这道题应该选 B 咯？不对！这道题的正确答案其实是 A 。在这道题中， 105 这个数起到了比较关键的作用。让我们来实际计算一下。

由于每赢一次会得到 36 元，因此小明只需要赢 3 次或 3 次以上，便能实现赚着离开赌场了。小明一次没赢的概率为 (37/38)105 ≈ 0.0608 ，恰好赢 1 次的概率为 C(105, 1) × (1/38) × (37/38)104 ≈ 0.1725 ，恰好赢 2 次的概率为 C(105, 2) × (1/38)2 × (37/38)103 ≈ 0.2425 ，上述三个值加起来约为 0.4758 。所以，反过来，小明赢了 3 次或 3 次以上的概率就是 0.5242 ，这超过了 1/2 。

为什么在玩一个明显对赌场更有利的赌博游戏中，精确地花费 105 元钱，就能做到赚时多亏时少？如果每个人都这么做，赌场岂不是会被搞垮？这不跟游戏对赌场更有利的结论相矛盾吗？其实，赚的时候更多，并不意味着期望收益为正。虽然赚的时候多，亏的时候少，但赚的时候往往是赚小钱，亏的时候往往是亏大钱，平均算下来，玩家仍然是在不断送钱的。

19．法国有法国的轮盘赌，俄罗斯也有俄罗斯的轮盘赌。不过，战斗民族的赌博方式可不一样——不是赌钱，而是赌命。俄罗斯轮盘赌可谓是史上最酷的决斗方式。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹，然后快速旋转转轮，再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机，直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏，双方胜负的概率各占 50% ，游戏没有任何技巧可言，命运决定了一切。为了让游戏更加刺激，这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹，然后旋转并合上转轮。这一次，理论上，下面哪种情况的可能性更大一些？

A．先开枪的人死亡
B．后开枪的人死亡
C．上述两种情况的出现概率相同

或许有些出人意料的是，这个题目的答案为 A 。为了算出双方存活的概率，我们只需要考虑所有 6 种可能的子弹位置即可。不妨用符号 ⊙ 来表示有子弹的弹槽，用符号 ○ 来表示空的弹槽。我们便能列出下面这张表：

• ⊙⊙⊙○○○ → 先开枪者死
• ⊙⊙○○○⊙ → 先开枪者死
• ⊙○○○⊙⊙ → 先开枪者死
• ○○○⊙⊙⊙ → 后开枪者死
• ○○⊙⊙⊙○ → 先开枪者死
• ○⊙⊙⊙○○ → 后开枪者死

可见，先开枪者死亡的概率高达 2/3 ，是后开枪者死亡概率的两倍。

可以算出，当转轮里位置相连的子弹数分别为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 时，先开枪者死亡的概率分别为 1/2 、 2/3 、 2/3 、 5/6 、 5/6 、 1 。看来，并不是所有游戏都是先下手为强啊。

20．小明参加某电视台的选秀节目。 A 、 B 、 C 三位导师欣赏了小明的一番激情演唱后，需要投票决定小明能否晋级。小明的表演征服了 A 、 B 两位导师，每位导师都有 4/5 的概率投出赞成票，支持小明晋级。但 C 导师则犹豫不决，不知道该如何选择。怎么办呢？节目组给出了两种方案供小明选择。第一种方案是， A 、 B 两位导师独立作出决定， C 则抛掷一枚公正的硬币，如果硬币正面朝上，则晋级与否完全以 A 的决定为准，如果硬币反面朝上，则晋级与否完全以 B 的决定为准。第二种方案是，A 、 B 两位导师独立投出赞成票或反对票， C 则抛掷一枚公正的硬币，如果硬币正面朝上，则投出赞成票，如果硬币反面朝上，则投出反对票，最后晋级与否则取决于三人中的多数票。为了提高晋级的概率，小明应该选择哪种方案？

A．选择第一种方案
B．选择第二种方案
C．两种方案的晋级概率相同

这个题目的答案是 C 。两种方案中，小明晋级的概率是相同的，都是 4/5 。即使把题目中 4/5 这个比例换一换，答案也依旧如此。不妨假设 A 、 B 两位导师投出赞成票的概率都是 p ，那么第一种方案中小明晋级的概率显然是 (1/2) · p + (1/2) · p = p 。第二种方案呢？两位导师都投出赞成票的概率是 p2 ，此时小明必然晋级； A 投出赞成票 B 投出反对票的概率是 p · (1 – p) ，此时小明有 1/2 的概率晋级（这取决于 C ）； A 投出反对票 B 投出赞成票的概率是 (1 – p) · p ，此时小明有 1/2 的概率晋级（这取决于 C ）；其他情况下小明都无法晋级。因此，第二种方案中小明晋级的概率为 p2 + (1/2) · p · (1 – p) + (1/2) · (1 – p) · p ，化简的结果是一样的： p 。