圆切割线的实战 - 初中数学联赛几何100题之007

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题目：如图， PC 切⊙O 于C ， AC 为圆的直径， PEF 为⊙O 的割线， AE 、 AF 与直线 PO 相交于 B 、 D .

求证：四边形 ABCD 为平行四边形.

这道题主要是考察圆的切割线。

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

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第一步，观察条件和结论，根据平行四边形的判定，可以考虑证明对角线互相平分或者两条边相互平行 ，因为已经有了一条对角线被交点平分，所以结论转化为证一组对边平行或者OB=OD即可。

解法一：尝试证明线段等长

OB=OD等价于BM=DN，直接推导无果。

考虑转化等长的条件，过E作EH//BD，交AF于H点，交AC于点G，条件转化为求证EG=GH

再取EF的中点Q，连接GQ,条件又转化为求证GQ//AF

之所以过渡到点Q，是因为在有切割线共存的图形中，割线形成的弦的中点是个特殊点，在长度和四点共圆方面常常有可供利用的地方，值得一试。

有了点Q之后，易知P,C,Q,O四点共圆，加上PN//EH

所以, E,C,Q,G四点共圆

从而, GQ//AF得证。已知条件和结论会师。

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解法二：尝试用内错角相等证对边平行。

通过内错角相等和同弧所对圆周角相等，将结论转化为

从而AD/AC=EC/EF

同样的，考虑到EF中点G的特征，连接OG,CG

易得AD/AO=EC/EG, 同时

所以, 结论转化为求证这两个三角形另外两对角中的一对相等。

而因为G点的特征，P,C,G,O四点共圆，

已知条件和结论会师。

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解法三：尝试用同位角相等证对边平行。

观察，后者等于圆心角的一半

所以结论转化为求证

这两个角没有直接关系，需要找个中间量过渡一下。

这时我们又看上了另一个特殊点：在有切割线共存的图形中，同一点引出的两条切线，与此点和圆心连线的交点是特殊点。

所以过C点作CG垂直PD于G

因为

所以G,E,F,O四点共圆,

同时易知B,E,C,G四点共圆，

结论转化为求证，或者是

再次利用G,E,F,O四点共圆的性质，得到

已知条件和结论会师。

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总结：切割线共存的图形中，特殊点的作用不可限量，时刻准备尝试。

你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。