小学奥数每日一题020 - 卡拉数学

题目：在一个4行4列的方格中，放入8颗相同的棋子，使每一行每一列都有2颗棋子。共有多少种不同的方法？

这道题属于排列组合问题，学通这道排列组合题，到高考都够用了

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

思路分析：

基础知识就是加法与乘法原理，只需要牢牢记住两条：分步骤完成用乘法，分情况讨论用加法。

先排列第一行的棋子，再讨论第二行棋子的不同种类，然后计算每种情况下的排列方法数，最后综合利用加法与乘法原理。

步骤1：

先思考第一个问题，如果第一行的2颗棋子已经排列好，第2行与第1行的棋子所在列有哪几种关系？

这个问题比较简单，每行都是2个棋子，因此这两行棋子所在列的关系可分为3类：

第一类是两行棋子所在列相同；

第二类是只有1个棋子所在列相同；

第三类是所有棋子所在列都不同。

下面将对这3种情况分别讨论。

步骤2：

再思考第二个问题，在第一行的2颗棋子已排列好时，如果前两行棋子所在列相同，后三行的棋子有多少种不同的排法？

考虑每列中的棋子数，第二行的棋子排法已经固定，此时已经有2列中有2个棋子，由于每列都只有2个棋子，对第三行和第四行中的2个棋子来说，都只能在剩余2列中，因此后三行中的棋子有1种排法。

步骤3：

再思考第三个问题，在第一行的2颗棋子已排列好时，如果前两行只有1个棋子所在列相同，剩余三行棋子有多少种不同的排法？

先排第二行的两颗棋子，与第一行相同的那颗棋子有2种排法，与第一行不同的那颗棋子也有2种排法，故第二行的棋子有2*2=4种排法；

再排第三行的两颗棋子，此时还剩余1列没有排任何棋子，故第三行的棋子一定有1颗在该列，已经还剩2列各有1颗棋子，第三行的另一颗棋子可以任选1列排，故第三行的棋子有1*2=2种排法；

最后排第四行的两颗棋子，此时剩两列都是各有1颗棋子，故第四行的棋子有1种排法。

根据乘法原理可得这种情况下，后三行中的棋子的排法总数是4*2*1=8种。

步骤4：

再思考第四个问题，在第一行的2颗棋子已排列好时，如果前两行所有棋子所在列都不同，剩余三行棋子有多少种不同的排法？

先排第二行的两颗棋子，只能排在剩余的2列中，故第二行的棋子只有1种排法；

再排第三行的两颗棋子，可以在4列中任选2列，故第三行的棋子有4*3/2=6种排法；

最后排第四行的两颗棋子，此时剩两列都是各有1颗棋子，故第四行的棋子有1种排法。

根据乘法原理可得这种情况下，后三行中的棋子的排法总数是1*6*1=6种。

步骤5：

综合上述几个问题，考虑原题目的答案。

把所有8颗棋子的排列分两步：

先排第一行的2颗棋子，有4*3/2=6种排法；

再排后三行的棋子，有3种不同的情况，分别对应着步骤2、3、4，

根据加法原理，后三行的排法数为1+8+6=15种。

注意到上述两步是分步骤的，应用乘法原理，所以不同的排法数是6*15=90种。

你学会了吗？

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思考题：把5个相同的小球放进3个不同的口袋，每个口袋中至少放1个小球，有多少种不同的方法？