中考真题：求等边三角形边长整数解

如图，在边长为的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点。若以M，N，D为顶点的三角形上等边三角形，且边长为整数，求该等边三角形的边长

这是一题江西省中考的真题，主要考察图形动点变化的分析能力，需要分类讨论解决。

解法如下：

连接FD交BE于G，连接BD交CF于H，设CF与BE相交于O点。

ABCDEF为正六边形，易知FDBE，且G为OE中点，同理BDCF，且H为OC中点。

由边长为，以及OED为等边三角形，可以计算出DG=9，DF=18，同理DH=9，DB=18。

可知M在BE上运动，M点与G点重合时，MD的距离最短，MD=9，M点与B点重合时，MD距离最大，MD=18。同理ND也同样成立

以下分类讨论M点的运动情况：

（1） M点在G点上，易证为GHD为等边三角形，此时N点在H点，满足等边三角形且边长为9，得到一组解，边长为9

（2） M点从G运动到O点的情况，与从G运动到E点的情况一致，合并讨论

注意，此时M点到D点的距离满足 9=DG<MD<=OD<11

只有一个可能性的解，MD=10，以下我们来找到这个点。如下图，取NH=MG，易证
DGMDHN，所以GDM=HDN，MD=ND得到MDN=GDH=60度，因此MDN为等边三角形，令MD=10，可知MG=时成立，得到一组解，边长为10

（3） M点在O点与B点之间运动

注意，此时M点到D点的距离满足OD<MD<OB=18

因此，若要MD=ND，N点只能在OF上，易知此MDN不可能为等边三角形

（4） M点在B点上，易证MDN为等边三角形，此时N点在F点，满足等边三角形且边长为18，得到一组解，边长为18

综上，有3组解，分别为9、10、18，解毕

小结：通过图形对称性的分析，分析动点移动的情况，并分类讨论得到整数解的各种情况。题目难度整体不算太高，但是很容易漏掉解，整个过程可以细细品味。

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