一道初中几何题，求圆中的一个弦线

一道初中几何题，求圆中的一个弦线

在图中，一个圆与一个等边三角形相交有六个点， 如果AG=2， GF=13， FC=1，HJ=7， 求DE的长度。

解： 本题的核心是利用圆的割线定理，来求出各个线段的长度，

首先可以AH的长度，从点A为起点有两条割线，根据割线定理：

AH·AJ=AG·AF

设AH=y, 则有：

y(y+7)=2x(2+13)

解这个方程为：

解得y=3, (另一个根式负值，被舍去)

因为三角形ABC是等边三角形，AC=2+13+1=16，

因此AB=16， 由此得出BJ=16-3-7=6，

现在设BD=a, DE=x, EC=b,

显然a+x+b=16,

此外从B点和C点开始还有两个割线的方程。

从C点的割线等式为：

从B点起的割线等式为：

a(a+x)=6(6+7)

设法解这三个方程形成的方程组：

将第一个方程减去第二个方程左侧有：

而a+b+x=16,

带入后有：

所以有a-b=4

将这个等式与上面的第三个等式相加有：

2a+x=20,

由此得出a=10-x/2, 将这个等式带入上面的第一个方程有：

由此得出x=2√22