与三角形中点和中位线相关的辅助线(2)

在与三角形中点和中位线相关的辅助线(1)中涉及了以下两类题型，及其辅助线的添线方法： 以上图形也是常见的基本图形，结合了中点、角平分线、垂直和线段和差的条件，知识点非常丰富。后续会出此背景下的压轴题解析。

上述图形涉及到了倍长中线和构造中位线的方法，接下来的一类题组将继续探索利用“倍长中线法”和“构造中位线法”解决线段间的倍半关系或等量关系。或改变图形背景，或增加中点个数，以探索目标线段间的数量关系和位置关系。

解法分析：本题的背景是两个共顶点的等腰直角三角形组成的图形。并且M为BD中点，出现了一个中点的问题。本题的第(1)问是特殊情况，即点C与点D，点B与点E在同一直线上，此时通过证明△BAD≌△CAE即可，并且△BAD为直角三角形。

本题的第(2)问是较一般的情况，需要通过添加辅助线构造全等三角形。由于在CE上取中点的方法不可行。因此利用倍长中线法或中位线法构造2AM，从而证明三角形全等。一般几何证明中，往往设计意图是从特殊到一般，在一般情况中寻找共性规律和通识通法，并进行推广。

解法1：倍长中线法，倍长AM，证明CE=AP.

解法2：构造中位线，以AM为中位线，构造第三边

方法汇总：以下四种方法，无论是倍长中线法还是构造中位线法，都能证明AM和CE间的数量关系。

同时AM⊥CE，两条线段间的数量关系可以通过以下方法进行证明：

题组变式：改变背景图形形状(变为共顶点的正方形或顶角互补的等腰三角形)

解法分析：本题的背景是两个共顶点的等腰直角三角形组成的图形。并且M、F、G为CB、BD、DE中点，出现了三个中点的问题。本题的第(1)问是特殊情况，即点C与点D，点B与点E在同一直线上，可知FM、MG为CD、BE的中位线，即可证明MF和MG的数量关系和位置关系。

本题的第(2)问是较一般的情况，由第(1)问带来的联系，构造中位线是问题解决的关键，继而再证明三角形全等。有两种中位线构造的方法：

题组变式：改变背景图形形状(变为共顶点的一般的等腰三角形)

模型推广：手拉手三角形（构造全等的模型来源）

如上图所示，手拉手三角形不仅仅存在与共顶点等边三角形中，只要两个图形(正三角形、正方形、等腰直角三角形、等腰三角形)是“相似”的，即对应边成比例，对应角相等，那么联结对应顶点，就会出现全等三角形。