容斥问题的“万能”公式

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试!今天为大家带来数量关系:容斥问题的“万能”公式。

容斥问题一直是公务员考试备考中不可缺少的一部分。很多同学在做容斥问题，尤其是三者容斥问题的时候常常会考虑不周，缺了一个部分又多了一个部分。所以接下来要给大家提供一个万能型的容斥公式，所有的三者容斥问题就迎刃而解了。

如图所示，我们用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分:表示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分:表示只喜欢两者，用“b”来表示;空白部分:表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分表示三者都不喜欢，用“d”来表示。

因此，根据图形，就有了以下几个公式:

1.a b c d=I(只喜欢1者 只喜欢2者 3者都喜欢 3者都不喜欢=总集)

2.a 2b 3c=A B C(三个集合相加时，喜欢1者的部分加了1次，2者的部分加了2次，喜欢3者的部分加了3次)

3.b 3c=X Y Z(题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人)

那么我们接下来就利用这个公式来练习几道题目:

例1某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程，兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人、甲乙丙三门课程均选的有20人，三门课程均未选的有2人。该专业共有学生多少人?

A.48 B. 50 C. 52 D.54

解析:直接套用公式:

(1)根据题中“有40人选修甲课程、36人选修乙课程、30人选修丙课程” 得:a 2b 3c=40 36 30=106(2)根据题中“兼选甲、乙课程的有28人、兼选甲、丙两门课程的有26人、兼选乙、丙两门课程的有24人”得:b 3c=28 26 24=78(3) 根据题中“甲乙丙三门课程均选的有20人”得:c=20(4)根据题中“三门课程均未选的有2人”得:d=2.最终求出总集I=a b c d=10 18 20 2=50人，所以答案为B

例2 某服装公司就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查、共抽取了40名消费者、发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的几个人?

A. 1 B.3 C.5 D.7

解析:套用公式:

(1)根据题中“共抽取了40名消费者” a b c d=40(2)根据题中“发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色” a 2b 3c=20 20 15=55(3)根据题中“至少喜欢两种颜色的有19人”b c=19(4)根据题中“喜欢三种颜色的有3人”c=3.求d=?根据列出的四个式子，可求得d=40-14-16-3=7人 答案选B

通过这两道题目，同学们可以发现，掌握好这个公式，题目中的每句话就可以列出一个式子，就可以达到机械化解题的效果，减少思考时间。因此，在考试的时候碰到容斥问题，是必拿分的题目哦。