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综合问题中“等角”的运用

启示号
教育
2年前
317

引言

‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍在许多的综合题中，借助等角，可以发现(构造)等腰三角形、全等三角形或相似三角形，同时借助等角，我们可以构造直角三角形，利用等角的锐角三角比相等，构造线段间的比例关系。

而等角的发现，往往有以下途径：全等(相似三角形)对应角相等，等角(同角)的余角(补角相等)，等边对等角。同时可以借助等量代换或等式性质发现等角。

由此可见，巧妙发现或利用等角，对于解决复杂压轴题起着事半功倍的作用。（以下内容来源尤文奕老师的“综合问题中'等角’的运用”）

相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题是综合题中常见的一类问题。此类问题中，目标三角形中常常已经有一组等角，借助这组等角，通过相似三角形的判定定理1和判定定理2，求出线段的长度或角的大小。

综合问题中“等角”的运用

解法分析： 本题考察的是 相似三角形的存在性 ，首先需要发现目标三角形的一组等角，即 ∠EFO=∠AEC ，接着思考是利用判定定理1还是2进行问题解决。由于题目中并未提供较多线段间的数量关系，因此 借助判定定理1分类讨论：①∠ACE=∠EFO②∠ACE=∠FOE 。从已知条件入手，结合等边三角形和矩形性质，可以得到 ∠ACE=∠ABO ，这组等角的发现为寻找边之间的数量关系奠定了基础。

综合问题中“等角”的运用

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线段比问题

相较于求线段的长度，线段比问题会更具有难度。对于此类问题往往有以下解决路径：①分别求出两条线段的长度，求比或比值；②这两条线段分属于两个相似三角形的对应线段，求这个相似三角形的相似比即可求出线段比或比值；③利用设“k”法，将比例式进行转化，用含k的代数式表示。在各区县的历次一模或二模中类似问题可以采用以上三种路径解决：

综合问题中“等角”的运用

解法分析： 本题是函数关系的建立。已知条件中出现了BE·BD=9，将9替换成AB平方，转化为比例式，可得 ▲ABE∽▲ABD(基本图形：共边共角型相似三角形) ，即得到∠BAE=∠ADE，根据等腰梯形性质，得∠BAD=∠ADC，可得∠DAE=∠BDC，继而得 ▲ADE∽▲BDC 。联想AE:DE，为▲ADE的两边，通过▲ADE∽▲BDC，可以用含x的代数式表示BC的长度，由cos∠ABC，得梯形的高，并得到AD的长度，从而建立函数关系式。

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