第一章　微专题　排列组合中的典型案例

在解决排列组合的应用问题中，在分类与分步过程中，容易重复计数以及遗漏计数，而且对题干的分析、理解也是学生困惑的地方，掌握常见的解题策略，能运用常见的解题策略解决排列组合的应用问题，是学生掌握排列组合的关键．

一、排队问题

例1　3男3女排成一队，求在下列条件下不同的站法种数？

(1)3女生不相邻；

(2)3男生排在一起，3女生排在一起；

(3)3男生顺序固定；

(4)甲不站左端，乙不站右端．

解　(1)先站3男生，3女生再插空，共有A33·A34＝144(种)不同的站法．

(2)3男生相邻，捆绑在一起，3女生相邻，捆绑在一起再排这两组，共有A33×A33×A22＝72(种)不同的站法．

(3)3男生顺序固定，只有1种方法，

方法一　故共有A36＝120(种)不同的站法．

方法二　故共有⁶₆³₃＝120(种)不同的站法．

(4)间接法：共有A66－A55－A55＋A44＝504(种)不同的站法．

反思感悟　排队问题，主要掌握好相邻捆绑，不相邻插空、定序问题、正难则反(间接法)等几个解题方法．

二、不同物品的分组分配问题

例2　7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？

解　第一步，先把7本不同的书分成5组，有11113或11122两种情况，有³¹¹¹¹₁⁴₄＋²²¹¹¹₁²³₃＝140(种)方法．

第二步，再把这五组分配给5人有A55＝120(种)方法．

故共有140×120＝16 800(种)不同的分法．

反思感悟　分组分配问题，一般方法是先分组后分配，在分组过程中涉及平均分组或局部平均分组问题，一般的方法是平均分m组，即除以Amm.

三、错排问题

例3　元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有(　　)

A．6种 B．9种 C．11种 D．23种

答案　B

解析　四位同学记为甲、乙、丙、丁，四种贺年卡分别记为A，B，C，D，依题意，每位同学不能得到自己的贺年卡，可用列举法，如下

甲　乙　丙　丁

B A D C

B C D A

B D A C

C A D B

C D A B

C D B A

D A B C

D C A B

D C B A

所以共有9种送法．

反思感悟　错排问题一般用列举法，其方法简单有效．常见的错排：3人错排2种方法，4人错排9种方法，5人错排有44种方法．

四、袜子手套问题

例4　有5双袜子，从中任选4只，求在下列条件下的不同选法种数？

(1)恰有1双；

(2)都不成双．

解　(1)依题意，恰有1双，另两只不成双．

第一步，先选1双，有C15种方法，第二步，从剩下的4双中选两双，再每双选一只，有C24·C12·C12种方法，

共有C15C24C12C12＝5×6×2×2＝120(种)不同的选法．

(2)都不成双，即4只袜子来自不同的4双，

即先选4双袜子，再每双袜子选一只，

共有C45C12C12C12C12＝80(种)不同的选法．

反思感悟　袜子手套问题，要注意不管是选一双，还是选一只都要成双的选，选一只的时候分两步，先选一双，再从这一双中选一只．

五、多面手问题

例5　现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解　方法一　可以分三类．

第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；

第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；

第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．

根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．

方法二　共8名青年，4名只能胜任英语翻译工作，3名只能胜任德语翻译工作，还有1名两项工作都能胜任，简称多面手人．把选取的2名从事德语翻译的青年作为研究对象．

第一类，这2名青年无多面手，有C23·C35种方法．

第二类，这2名青年有1名多面手，另1名来自只能胜任德语翻译工作有C11C13C34种方法，

故共有C23C35＋C11C13C34＝3×10＋3×4＝42(种)不同的方法．

反思感悟　多面手问题，关键在于多面手参与的项目与数量，可以从多面手参加的项目出发分类讨论，也可以从其中一个项目出发，分类讨论该项目中多面手的数量．

六、相同的物品分组、分配问题

例6　六本相同的书，在下列条件下求不同的分法？

(1)分成三组，每组至少1本；

(2)分给三人，每人至少1本．

解　(1)六本不同的书，分成三组，每组至少1本，有1,2,3；1,1,4；2,2,2三种情况，因为6本书相同，故共有3种分法．

(2)六本书分给三人，每人至少1本．

第一类，六本书分成1,2,3三组，再分配给3人有1×A33＝6(种)分法．

第二类，六本书分成1,1,4三组，再分配给3人有C13＝3(种)分法．

第三类，六本书分成2,2,2三组，再分配给3人，有1种分配方法，故共有6＋3＋1＝10(种)不同的分法．

反思感悟　相同的物品分组只有1种方法，但是在分配的时候，要注意每组是否相同，若每组的相同物品的数量不同，则各组是不一样的，分配的时候需考虑顺序，若每组的数量相同，则每一组也是一样的，分配时不需考虑顺序．