本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。

如果你真想知道行列式（以及矩阵）究竟是在说什么，我建议你看完全文。

行列式的本质其实很直观，先说一下结论，行列式的本质是体积。

至于是什么的体积？

请往下看。

从线性空间谈起

对一些读者来说，理解行列式的意义需要重塑对线性代数的整体认知，所以我要先介绍一下线性代数的“正确打开方式”。

大部分线性代数教材都把线性方程组放在第一位，但我认为线性代数应该从线性空间讲起。

线性空间也叫向量空间，之前学过线性代数的人可能会觉得这是个非常复杂的概念，但其实线性空间很简单，最典型的线性空间就是我们熟悉的三维空间。

或许我应该从更简单的一维空间谈起，它也是一种线性空间。

一条直线其实就是一个一维空间，直线上有无穷多个点，或者说直线是由无穷多个点组成的。

类推下去，二维空间、三维空间、更高维的线性空间也都是由无穷多个点组成的，或者说：线性空间是点的集合。

一些读者可能会反驳道：

线性空间明明是满足8条运算定律的向量的集合，怎么能说成是点的集合？

这其实就涉及到我们对向量的理解了，什么是向量？

是有大小和方向的量吗？

不是，尤其是在线性代数中，一定要注意：向量是满足8条运算定律的量，它不需要有方向，也不需要有大小。

点，就是最直观的例子。没错，点也是向量。其实这很好理解，当我们用坐标去表示点或向量（暂且看成有大小和方向的量）的时候，用的方法是一样的。

对于向量这个概念，重要的不是它究竟是什么，而是它满足的运算定律是什么，也就是前文提到的8条运算定律：

这8条运算定律其实都很简单，就是我们熟知的那种有大小和方向的量的运算定律。

只要满足这8条运算定律，那就是向量。这会导致函数也是一种向量，引出非常丰富的内容，在本文中就不多提了。

“基”与“坐标”

虽然向量不是有大小和方向的量，但是“有大小和方向的箭头”的图景可以帮助我们理解向量的性质，所以我们可以暂时把下文中的向量看成是“有大小和方向的箭头”。

接下来就是重头戏了，我们需要知道如何描述向量。很多人都知道可以用一组坐标去描述向量，就像下面这样：

但是，仅仅靠坐标还不足以描述向量，因为坐标系有很多种，一组坐标在不同的坐标系中表示的向量是不同的，就像下面这样：

所以，在我们用一组坐标表示向量的时候，一定要知道使用的是什么坐标系。在线性代数中，用“基”表示坐标系，“基”其实也是向量，可以称为基向量。

理解基向量需要重新认识坐标系，我们通常对向量的坐标表示的看法是：

• 把一个向量沿坐标轴方向分解，或者是把一个向量投影到坐标轴上，向量在坐标轴上的投影的长度就是坐标。

现在我们要放弃上面这种看法，转而用基向量去重新理解坐标，每一种坐标系都有特定的基向量。

向量的坐标表示其实是：

• 把一个向量表示成基向量的线性组合。
• 所谓的“线性组合”其实就是乘以一个常数（向量的数乘）以后再相加（向量的加法）。

这种方法其实就是把基向量伸缩以后再首尾相连，“伸缩”就是向量的数乘，“首尾相连”就是向量的加法，伸缩的系数就是坐标。

也就是说，完整描述一个向量需要“基向量”和“坐标”，这二者缺一不可。很多人对于向量的印象仅仅只是“坐标”，而忽略了“基向量”，这正是理解行列式的一个障碍，所以我一定要事先强调“基向量”的重要性。

在这里就会出现一个很少有人明确告诉初学者的规则，基向量也是向量，描述基向量也需要“基向量”和“坐标”。这时就会出现“无限套娃”的情况（基向量一层一层套下去），为了防止这种“无限套娃”，线性代数默认：

• 描述基向量的基向量是直角坐标系的基向量。

这可能有点绕，不过我相信大家都能理解它。

也就是说线性代数有一个默认的“背景”，这个“背景”是直角坐标系，在这个“背景”中构建出基向量，再用基向量的线性组合去表示一般的向量。

这是理解行列式必不可少的一环，我必须提前说清楚。

“基变换”与“坐标变换”

• 不同的坐标系有不同的基向量.
• 同一个向量在不同坐标系中有不同的坐标。

上文的关键内容其实就是这两句话。

变换是连接不同坐标系的桥梁，也就是把一个坐标系变换到另一个坐标系。这种变换包括两部分：

• 基变换
• 坐标变换

我们可以用一个简单的旋转变换看出它们之间的关系：

也就是说：基变换和坐标变换是反着的，专业一点的说法是它们互为逆变换。

上面的例子其实是线性变换，也是线性代数中讨论的变换。之所以说称其为“线性变换”是因为：

• 新的基向量是旧的基向量的线性组合。
• 新的坐标是旧的坐标的线性组合。

到了这一步，才算是碰到了理解行列式的门槛。

矩阵的意义

矩阵和行列式很像，事实上行列式就是对矩阵进行一套运算之后的结果，所以在理解行列式之前需要先了解矩阵。

上面的旋转变换还可以写成这种形式：

也就是说，矩阵其实就是线性变换的一种表现形式。

不过仅仅对矩阵理解到这个程度还不够，根本不足以进一步理解行列式，想要加深理解就需要先运用一下矩阵，比如用矩阵表示“基变换”和“坐标变换”：

让我们把重点放在“基变换”上面，“基变换”其实就是把新的基向量表示成旧的基向量的线性组合。相应的，矩阵中每一列的元素都是一个新的基向量的坐标。

这也就是说，矩阵也是一组向量的坐标，更准确地说是：一组基向量在另一组基向量中的坐标。

“线性变换”和“一组向量的坐标”其实是一回事，它们都是矩阵的意义。

（确实也可以简单地说：矩阵就是一组向量。这可能是一个显而易见的结果，不过简单地观察矩阵与向量的形式得到这个结论，和经过“基变换”得到这个结论相比，对结论的理解可远远不在一个档次上。）

行列式的意义

现在，终于可以正式谈论行列式的意义了。

前面说过：

• 行列式就是对矩阵进行一套运算之后的结果。
• 矩阵是一组基向量在另一组基向量中的坐标。

将它们综合之后，大家就可以理解行列式的意义了。

行列式是一组基向量构成的图形的“体积”，行列式的计算方法就是计算“体积”的方法。

基向量构成图形的方法其实很简单，两个基向量构成的图形就是平行四边形，三个基向量构成的图形就是平行六面体。

之所以统一用“体积”这个词，而不用“面积”这个词，是因为线性代数研究的向量是任意的n维空间中的向量，基向量构成的图形也是任意的n维空间中的图形，所以用“体积”这个词更合适。

考虑到基向量是“单位向量”，所以行列式表示的“体积”也是“单位体积”，或者说是“体积元”。

（当然，这里说的“体积”和我们熟悉的那个体积还是有些不同的，因为这里说的“体积”是有方向的，这和行列式的计算方法有关。至于计算行列式的方法到底是怎么来的，这就有些麻烦了，本文就不介绍了。）

行列式的用处

知道了行列式是体积元，其实就已经可以想到很多用处了。由于笔者只对物理学有所了解，所以想到的用处基本上都在物理学里，比如广义相对论里面会经常用到体积元。欢迎大家在评论区里补充其它用处。

在线性代数里面，行列式通常是用于判断一个矩阵是否有逆矩阵。如果一个矩阵的行列式等于0，就说明这个矩阵没有逆矩阵。

逆矩阵很好理解，在前面提到的旋转变换里面，表示顺时针旋转的矩阵的逆矩阵就是表示逆时针旋转的矩阵。

一个矩阵存在逆矩阵其实就是说：矩阵表示的线性变换是可逆的，也就是在变换之后，还可以用逆变换变回原样。

至于这和体积有什么关系？

依然可以用基向量理解，线性变换是联系两组基向量的桥梁，一个线性变换（“基变换”）存在逆变换其实就是说：两组基向量都可以表示成对方的线性组合。

理解这些内容只需要看一张图片：

如果一组基向量在线性变换之后发生了“降维”，那么新的基向量就无法表示更“高维”的原本的基向量，这就说明这个线性变换没有与之对应的逆变换。