在代数和几何之间跳舞的数学家，研究椭圆曲线时结合了代数和几何

来源：quantamagazine

和许多后来成为数学家的人一样，何伟（Wei Ho）在数学竞赛中长大。八年级时，她赢得了威斯康星州数学竞赛的冠军。Ho被数学的严谨性所吸引。她研究的是我们熟悉的几何物体，但她将问题重新定义为有理数（然后数论就开始起作用了）。

她对椭圆曲线特别感兴趣，椭圆曲线是由一种特殊的多项式方程定义的，在数学的不同分支中都有应用。椭圆曲线出现在分析中以及寻找和定义精确数学结构的代数中。尽管它们的关注点不同，但分析和代数更多的是根据感性而不是严格的界限来划分的，因为它们之间有很多重叠。

2018年，Ho和她的合作伙伴哈佛大学的Levent Alpöge发现了定义椭圆曲线的多项式的整数解数量的一个新的上限。他们借鉴了美国数学家路易斯·莫德尔几十年前的研究成果。在他们的论文中，Ho和Alpöge能够收集到关于这些整数解的分布的新信息。

Quanta在一系列视频会议中与Ho进行了交谈。这些采访经过了精简和编辑。

你如何描述你做数学的方法？

有时数学家把自己分为代数人和分析人。我做的数学涉及两方面，但在内心深处，我是一个代数学家，尽管我的思维方式是几何的。我常常倾向于把代数和几何看作本质上是一样的。

这不是很准确，但基本上从笛卡尔的工作开始特别是在上个世纪，这两个学科变得非常接近。有一个相当精确的字典，可以在某些情况下，帮助把一个几何图形翻译成代数结果。

在我自己的例子中，几何图形通常有助于表述陈述和猜想，并提供直觉，但我们在写作时将它们转化为代数。因为代数通常更严格，所以更容易发现错误。当几何图形难以可视化时，使用代数也会更容易。

在你最近的工作中，你关注的是什么想法？

我的很多工作都与椭圆曲线有关，这是数论和算术几何中非常自然的对象。应该很难得到这样的方程的整数解。基本上，我们期望几乎所有曲线都没有整数解。但这很难证明。

Levent和我研究了积分点数的分布。我们使用了莫德尔1969年出版的《丢番图方程》一书中的经典结构。我们可以给出椭圆曲线上积分点个数的上限。其他人给出了上界。我们发现了一个不同的边界。

莫德尔早期的工作在你最近的成果中起了什么作用？

我们的问题涉及椭圆曲线上的积分点。莫德尔有办法把它和我们可以研究的其他东西联系起来。这是我们在数学中一直在做的事情：我们想要理解一个对象，但我们必须找到一个代理来理解它。有时候这个代理是非常准确的。有时它会丢失信息。

你什么时候决定专攻数学的？

我现在对我的生活和事业很满意，但我觉得如果事情稍微有所不同，我可能在许多职业或其他领域都很快乐。也许这是大多数数学家不会说的，因为他们喜欢谈论他们对数学的热情，以及他们如何永远不会考虑其他任何事情。对我来说，我不这么认为。

我对很多不同的事情都很好奇。也许我最终成为一名数学家是因为我对其他领域缺乏严谨感到沮丧。作为一个孩子，我被训练在某些方面像数学家一样思考，因为这是我们在家做事情的方式。我爸爸和我玩数学游戏，这意味着我从小就在学习逻辑推理。但我不确定我能成为一个好的数学家。

为什么？

我的意思是，我没有看到很多人对数学以外的事情充满热情，这让我非常怀疑自己。如果我不花100%的时间思考数学，我怎么可能在数学上取得成功？在我的印象中，其他人对待数学的态度与我不同，包括我的同龄人和比我年长的人。我想要从事一份与自己不一样的职业是很困难的。我会有其他的兴趣爱好。

你刚刚被任命为国际会计协会妇女与数学项目的主任。这个项目为女数学家提供了什么？

这是一个为期一周的研讨会，面向不同职业阶段的女性，包括本科生、研究生、博士后和一些初级和高级教师。那些可能还不知道自己想学数学的本科生会遇到非常资深的数学家，并得到了可靠的指导。他们可以看到许多不同的人在不同的职业生涯阶段，并与人们谈论他们的经验。我不认为有很多其他的项目有这样完整的范围，专注于一个特定的子领域。

2023年的计划被称为“整数中的模式”。会有很多人学习加性组合学和解析数论。我们把不同职业的人招进来，让他们认识。对于已经在这一领域工作的年长研究生，他们将会见本领域的博士后、初级和高级教师，并获得与他们一起工作一周的机会。

你还参与了Stacks项目，这是一个广泛的在线资源。它有什么独特之处？

独特之处在于它的巨大容量和可访问性。这是一个庞大的在线合作项目，如果你把它打印出来，有7500多页。但实际上，埃斯·约翰·德容（哥伦比亚大学数学家）写了几乎所有的内容。这是一个严谨的，为代数几何学者精心编写的资源。他做了一件了不起的事。

每一两个星期，它就会增长一次。它几乎是任何东西的可靠参考。它涵盖了大量的代数几何。它是一种可以添加和编辑的生活方式。如果有错误，他们会被发现的。

另一个有趣的地方是它的标签系统。即使这个文档在不断增长，您仍然可以永远引用特定的标记。对于你可能想引用的特定结果，有超过21,000个永久标签。

你的团队在Stacks项目中扮演什么角色？

关键是要让年轻人参与进来。我们让他们写一些可能最终会被纳入其中的片段。这里有一些问题，因为网站要保持正确和高质量的资源，它需要仔细地审核。所以约翰还需要做很多工才能把东西放进去。它不像维基百科那样，任何人都可以接触它。

我们正在想办法慢慢地让更多人参与到Stacks项目中来。我们引进了导师，与研究生和博士后一起做项目。他们学习一些代数几何。然后他们写一些东西。如果有足够多的人参与并坚持下去，Stacks项目可能会在数百年内具有极大的影响力。