一道利用介值定理证明等式有实数根的问题

关于多项式的习题

问题：

证明如果等式Q(x)=a+(c−b)x+(e−d)=0 有大于1的实数解，这里a,b,c,d,e∈R, 那么方程P(x)=a+b+c+dx+e=0至少有一个实数解。

解：将-x带入P（x）中有，

如果r>1是多项式Q的一个根，我们有

a+(c-b)r+(e-d)=0,

将与-带入P（x）中有：

和

注意两个数字P(±)中必有一个是正的(因为，另一个是负的(或者两个都是零)。因此，在−和之间，必须有一个数ξ使得P(ξ)=0。

这里用到了一个代数学中的一个介值定理。

介值定理

设f(x)是多项式的函数，介值定理表明如果f (a) 和 f (b) 有相反的符号，那么在a,b之间至少存在一个数ξ,使得f(ξ) = 0.

在某些情况下，我们可能知道图上的两点，但不知道f(x)=0那个点。如果这两个点在

对于x轴来说是在上下两侧，我们可以确定它们之间有一个点使得f(x)=0。考虑一个多项式函数f，它的图是光滑的和连续的,介值定理表明，对于f域中的两个数a和b，如果a <b

且f (a)≠f (b)，那么对于a,b之间的函数值f（x）可以是取f (a)到f (b)之间的任意一个值， 当然包括零。证明实际上是相当复杂的，需要较高的数学计算。我们可以把这个定理应用到一个特殊的情况在绘制多项式函数时很有用。如果连续函数f在x = a上的一点位于x轴的上方，另一个点(x = b)位于x轴下方，在x = a和x = b之间必定存在第三个点x=c,使得曲线与x轴相交。称这个点为(c, f (c))，这意味着我们确信存在一个f (c) = 0的解。

换句话说，介值定理告诉我们，当一个多项式函数，从一个负的值变为正值时，函数必须穿过x轴，即有一个根。