高考数学秘笈：四步解题法11——寻找条件之实际意义

冯跃峰

本讲介绍寻找条件的第二种方式。

（2）发掘条件中隐藏的某些对象的实际意义。

在寻找条件的最初阶段，对条件的了解和整理还只是表面上的，只有对条件深入理解，才能认识条件的本质，为利用条件创造“条件”。

理解是应用的前提，要想应用条件，首先就得读懂条件。要透过数字、符号、语言的表象，弄清题设条件到底告诉你一些什么信息。必要时，还可借助图表、模型等加深理解。只有真正了解了条件的含义，才能准确地应用。

我们先看两个简单的例子。

例1、设A={（x，y）|x+y=2，x∈R，y∈R}，

B={（s，t）|2s-t=1，s∈R，t∈R}，

求A∩B。

【分析与解】本题的目标是：A∩B=？

题给的条件是，给出了两个具体的集合。解题的关键，是理解这两个已知集合的实际意义。

有同学看到这样的条件，认为A是由（x，y）构成的集合，而B是由（s，t）构成的集合，所含的字母不同，错误地判断它们没有公共元素，得出错误答案：A∩B=Φ。

造成上述解题失误的原因，显然是对条件的理解不正确，它反映的是相关概念的模糊。出现这样的错误，并不在于思维能力的不足，而是相关知识存在漏洞。

我们知道，一个集合的确定，主要是看集合有什么类型的无素，而这些无素用什么字母表示则是无美紧要的。

比如，集合{x|x≥1}与集合{t|t≥1}就是同一个集合，它们都表示区间（1，+∞）内所有数组成的集合。

在这种理解下，本题中两个集合都是一些有序实数对的集合，求A∩B，就是把它们中公共的有序实数对找出来。这就只需知道两个集合中实数对的存在域。

容易发现，两个集合中实数对的存在域为两条直线，只需求出两直线的交点，即可求出A∩B。

于是，x+y=2，2x-y=1，联立解得x=y=1，故A∩B={（1，1）}。

例2、设A={x|x=|t|，t∈R}，

B={x|x=1-t²，t∈R}，

求A∩B。

【误解】有的解题者在解这道题时，由于没有理解条件的实际意义，就急于解题，造成解题失误。

他们认为，求 A∩B就是解方程组

x=|t|，

x=1-t²。

消去t，得x=1-x²，

解得x=。

得到错误答案：

A∩B={(，}。

造成上述错误的原因，就是把两个集合中的x、t理解为取相同的值。由于x、t在两个不同的集合里，它们均可独立取值，不受另一个集合中字母取值的影响。求A∩B，也只是要求A、B两个集合中x的取值相同，而两个集合里各自的哪些t使两个x的取值相同是不去考虑的。

如果令两集合中的x相等去建立方程，那么两个集合中的t要分别用不同的字母心t₁、t₂来区别，这样建立的方程组只能消去x，得到方程|t₁|=1-t₂²。

但按此思路去解，过程很繁。

实际上，只要正确理解了A、B的实际意义，本题其实是很简单的。

A、B都是一些实数组成的集合，如果把x=|t|理能为tox平面上的曲线，那么集合A就是该曲线上各点纵坐标的集合。

同样，集合B就是曲线x=1-t²上各点纵坐标的集合。

如果把x=|t|理解为函数，那么集合A就是函数x=|t|的值域，便知A={x|x≥0}；同样，集合B就是数x=1-t²的值域，便知，B={x|x≤1 }。

在这种理解下，显然有A∩B={x|0≤x≤1}。

我们再看两个稍复杂点的例子。

例3、设函数f（x）满足：

f（x+y）=f（x）+f（y），

且x>0时，f（x）<0。

求证：f（x）为减函数。

【分析与证明】先明确目标，我们要证明：

当x₁<x₂时，f（x₁）>f（x₂）。

分割目标，建立如下解题主线：

起点x₁<x₂ ——→ 终点：f（x₁）>f（x₂）。

下面寻找条件，与目标相接近的题设条件是

：“x>0时，f（x）<0。”

这个条件的实际意义是，任何整数对应的函数值都为负数。为运用方便，可将它形象地表述为：对形如“?>0”的不等式的左边添加f，不等式反向。

比如，由1>0，得f（1）<0；

再比如，由>0，得f（）<0。

为了利用这一条件，需要将起点中的不等式变成形如“?>0”的形式，这需要发掘两者的差异。

它们有两种差异，一种差异是不等式方向不同，这只需在不等式x₁<x₂两边同乘以“-1”，便得- x₁>-x₂；

另一种差异是，起点不等式右边不是0，这移项即可。这样一来，起点变为x₂-x₁>0。

现在可利用上述条件，得f（x₂-x₁）<0。

再发现差异，当前状态

“f（x₂-x₁）<0”中只有1个f，而目标

“f（x₁）>f（x₂）”中有2个f。

为消除差异，希望当前状态能增加一个f，自然想到f（x₂-x₁）能否分拆成两部分。

我们猜想：

f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁）（子目标）。

再寻找条件，与之接近的条件是

f（x+y）=f（x）+f（y）。

继续发现差异，子目标与上述条件存在结构差异：条件中函数之间用“+”号连接，而子目标中函数之间用“-”号连接。

这个差异很容易消除，通过移项改造子目标即可，得到

新的子目标：

f（x₂-x₁）+ f（x₁）=f（x₁）。

利用上述条件，这显然是成立的，解题获得成功。

具体解答如下：

【新写】设x₁<x₂，则x₂-x₁>0，

由题给条件，有f（x₂-x₁）<0。（*）

又由题给条件可知，

f（x₂-x₁）+ f（x₁）

= f（（x₂-x₁）+f（x₁））=f（x₁），

即 f（x₂-x₁）= f（x₂）-f（x₁），

所以（*）式变为f（x₂）-f（x₁）<0，

即f（x₁）>f（x₂），故f（x）为减函数，证毕。

例4、设f（x）=的图象关于

A（，）对称，

求实数a。

【分析与解】很明显，解题的关键，是理解条件：

“图象关于A（，）对称”

的实际意义。

这并不是说，从图像上看对称有何作用，而是要用数学式子表述对称的意义。

所谓图像关于点A对称，其意义是：对f（x）的图象上的任何点P（x，y），设它关于A的对称点为Q（1-x，1-y），则Q在f（x）的图象上。

于是，可这样用数学式子描述图像的对称性：

对任何满足y=的实数x、y，有

1-y=。

这样，目标变为：由以上两式中x、y取值的任意性，求出合乎条件的a。

两式相加，可知对一切实数x，有

+=1。

由此可求出a。具体解答如下：

【新写】因为f（x）的图象关于

A（，）对称，在f（x）的图象上任取一点P（x，y），设P关于A的对称点为Q（1-x，1-y），那么Q在f（x）的图象上。

于是，对一切实数x，有

y=，1-y=。

两式相加，得

+=1。

即（a+）+（a+）

=a+++4，

化简得2a=a+4，解得a=4。

经检验，a=4合乎要求。