初中数学联赛几何100题之005 - 卡拉数学

题目：如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、BD交于点 E ，BAC =50，ABD =60，CBD =20，CAD =30，ADB =40，求ACD

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

解法一：

观察已知角和未知角，要求解∠ACE，只要求得∠BDC或∠DEC中的一个即可。

寻找已知角度的特征，三角形ABC是一个顶角80度的等腰三角形，还记得本专题的前面第3题的一个思路吗？对这种三角形可以尝试以顶角为圆心，腰长为半径的辅助圆。

因此得到圆B，因为有了一个60度角，所以自然而然得到等边三角形ABF，并可以导出∠EAF=10，∠DAF=∠CBF=20

这时候有了一边，一角对应相等，又有对顶角的地利，很容易想到要尝试构造全等三角形，于是延长AF和BC交于G点，易证三角形AFD和BFG全等，从而FG=FD

因为∠DFG为60度，所以尝试连接DG,得到的三角形DFG为等边三角形

从图形上看，三角形DFC和DGC已经有两边相等，如果这两个三角形全等，∠FDC就是∠FDG的一半，结论就可求得，所以尝试考虑DFC和DGC的全等条件

因为要求的是角，所以找夹角相等困难，尝试证第三边相等，这需要∠CFG=∠CGF

因为有了两个等边三角形的60度角，以及辅助圆所构成的等腰三角形，易证得这两个角都是40度。至此，已知条件和结论会师。

所求ACD为80度

解法二：

如果不从辅助圆出发，而从观察到的∠CBA=∠DAB=80，尝试作等腰梯形。

过D作DG//AB交BC延长线于G，连AG交BD于F,连CF

由等腰梯形性质，易证得解法一中相同的等边三角形和一对全等三角形，最后得到∠DFC=30

解法三：

还是从辅助圆出发，但这次走圆B和AC交点F的路子

易证三角形FBC为等边三角形，三角形FBD为等腰三角形

所以FB=FC=FD，FCD为等腰三角形，且F为三角形BCD的外心

则∠CFD=2∠CBD=40，从而∠CDF=70, ∠ACD=80

总结几个作辅助线的思路：

20，40，80度的等腰三角形==》辅助圆

60度，30度==》等边三角形，圆心角/圆周角

公共边的两底角相等==》等腰梯形

你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。