压轴题“一题精讲”(二)：相似三角形的存在性

“相似三角形的存在性”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过复杂，一般会给出部分对应关系，最常见的就是 给出一组同角(等角) ，则同角(等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)入手， 如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示，则建议通过列比例式，解方程求解；反之，则需要根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系，借助基本图形，进而求解 ，若出现无法确定同角(或等角)的情况，也可以列表分析。 （以下习题及解法部分选自黄喆《图解中考数学压轴题》）

(1)本题的第一问的题设和结论出现了比例式，由于本题是等腰梯形的背景，根据AD//BC以及∠B=∠DCB， 图中并没有相似三角形 ，因此联想到构造A/X型基本关系，构造比例关系。 图中出现了丰富的比例关系，因此可以设AD=2a，则BF=a，CF=3a 。 图中 有一组现成的平行线 ，且其中线段间的比例关系主要体现在 点E 和 点G ，因此可以联想 ①延长CE、DA交于点M或②过点E构造平行线交DF于N，借助A/X型基本图形，用含a的代数式表示相关线段的长度，从而求得DG:GF的比值 。
解法一：延长CE、DA交于点M 。利用 AM-BC-X型图 ， 用含a的代数式表示AM、DM的长； 借助DM-CF-X型图表示DG:GF的值 。

解法二：过E作EN//BC交DF于N，过F作FQ//AB交EN于P 。利用 PN-DQ-A型图 ，用含a的代数式表示PN、DQ的长； 借助EN-CF-X型图表示GN:GF的值 ， 借助N为FD中点，得到DG:FG的值。

(2)本题的第二问在第一问的前提下寻找AG和CD的数量关系和位置关系，通过猜想，两者的位置关系是平行。而 图中无法通过角来证明平行，因此只有添加辅助线构造A或X型基本图形，从而通过线段间的比例关系证明平行 。 解法一：可以借助第一问的辅助线，利用AG-CD-A型图 ， 借助AM:AD、MG:CG的比值，判断AG和CD的数量关系和位置关系。

解法二： 延长AG交BC于P 。利用 AD-FP-X 型图，借助 DG:GF的比例关系 ，可以得到FP=a，CP=2a，则 四边形APCD为平行四边形 ，可得出AG和CD的数量和位置关系。

(3)本题的第三问是相似三角形存在性的讨论。 第一步：找一组等角 ∵AD//BC，∴ ∠ADG=∠DFC ，∵△ADG与△CDF相似， ∴∠AGD=∠GDC或∠AGD=∠DCF. 第二步：按角分类求解 ①当∠AGD=∠GDC时，有AG//CD，求BF的长 ：

②当∠AGD=∠DCF时，设BF=x，发现图中的相似三角形，从而列出比例式。