中考压轴专题：存在性问题之特殊四边形-例题讲解

存在性问题之特殊四边形

1.菱形存在性问题，抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直；

2.矩形存在性问题，抓住内角90°与对角线相等；

3.正方形存在性问题抓住等腰直角三角形的性质即可.

【例题讲解】

【解析】

四边形CPBD不可能为菱形.依题意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，由CD//AB，利用相似比表示CD，由菱形的性质得CD=PB可求t的值，又当四边形CPBD为菱形时，PC=PB=7-3t，把t代入PA²+AC²，PC²中，看结果是否相等如果结果不相等，就不能构成菱形.设直线l比P点迟x秒出发，则AC=t-x，OC=4-t+a，再利用平行线表示CD，根据CD=PB，PC//OB，得相似比，分别表示t，列方程求a即可.

【点评】

本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理的运用，菱形的性质.关键是根据菱形的性质，对边平行，邻边相等，得出相似比及边相等的等式，运用代数方法，列方程求解.

【解析】

(1)对于直线解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，即可求出A与B坐标；

(2)如图1所示，过P作PH垂直于x轴，由题意求出OQ=BP=1，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而求出sin∠ABO的值，根据BP=t表示出PH，分情况分类讨论表示出S与t的函数关系式即可；

(3)存在点N，使得以点A，P，Q，N为顶点的四边形是矩形，分三种情况考虑:

①如图2所示，当∠APQ=90°时，∠BPQ=∠AOB=90°；②如果∠PAQ=90°；③如果∠AQP=90°，当Q与O重合时，t=0，此时N坐标为(4，3)，分别求出t的值，进而相应求出N的坐标即可.

【点评】

此题属于一次函数综合题，涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.

【解析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据轴对称，可得M'的坐标，根据待定系数法，可得AM'的解析式，根据解方程组，可得C点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

(3)根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式.

【点评】

本题考查了二次函数综合题，(1)利用待定系数法求函数解析式；(2)利用轴对称的性质得出M'的解析式，利用待定系数法得出AM的解析式，利用解方程组得出C点坐标是解题关键；(3)利用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键，又利用待定系数法求函数解析式，注意要分类讨论，以防遗漏.