中考数学压轴题分析：面积平分问题

本文内容选自2021年镇江中考数学压轴题。题目以矩形为背景，考查中心对称图形的性质，进而研究图形的面积平分线的问题，是一个比较好的探究素材，大家可以仔细研究一下。

---

【中考真题】

（2021·镇江）如图1，，，，为铅直方向的边，，，为水平方向的边，点在，之间，且在，之间，我们称这样的图形为“图形”，记作“图形”．若直线将图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）

【思考】
如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线　 （填“是”或“不是” 图形的面积平分线．

【应用】
在图形形中，已知，．
（1）如图4，．
①该图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点，，求长的最大值；
②该图形的面积平分线与边，分别相交于点，，当的长取最小值时，的长为 　　 ．
（2）设，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边，相交的面积平分线，直接写出的取值范围 　　．

---

【分析】

【活动】根据提示，分成两个矩形，或者补成两个矩形，连接对角线即可。

【思考】由于O1O2会平分，说明分成的左右两部分面积相等，又由于PQ与O1O2所成的两个三角形是全等三角形，所以割补一下也是相等的。难度不大。

【应用】（1）①由于PQ与水平的两边相交。可以发现当P与B重合的时候，才能使得PQ最长，此时利用面积平分，得到PQ的值即可。

②根据垂线段最短，当GH与BC平行时GH的长最小。

（2）本小题是压轴部分，有一定难度。题目要求在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中只有与AB和CD相交。那也就是说不能与EF相交，我们可以尝试画出与EF相交的情况。如下图所示：

此时，上面的图形面积与下方的面积相等。如果要使得不与EF相交，线需要往下移动。那么说明上方的面积必然要小一点，才需要向下移动。

因此我们可以看下图，当绿色部分的面积小于下方面积的时候，必然不可能存在上图的情况。

再用t表示AF与CD的关系，然后根据面积大小关系确定t的范围即可。

---

【答案】解：【活动】如图1，直线是该图形的面积平分线；

【思考】如图2，，

，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】
（1）①如图3，当与重合时，最大，过点作于，

图形的面积，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即长的最大值是；
②如图4，当时最短，过点作于，

设，则，
根据上下两部分面积相等可知，，
解得，即；
故答案为：；
（2），
，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边，相交的面积平分线，
如图5，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边，相交的面积平分线，

即，
，
，
，
．
故答案为：．