中考数学压轴题分析：矩形翻折问题

本文内容选自2021年荆州中考数学几何压轴题。题目以矩形中的折叠为背景，全等与相似有关的知识，难度一般。

【中考真题】

（2021·宜昌）如图，在矩形中，是边上一点，，，垂足为．将四边形绕点顺时针旋转，得到四边形，所在的直线分别交直线于点，交直线于点，交于点．所在的直线分别交直线于点，交直线于点，连接交于点．
（1）如图1，求证：四边形是正方形；
（2）如图2，当点和点重合时．
①求证：；
②若，，求线段的长；
（3）如图3，若交于点，，求的值．

【分析】

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（2）①证明全等即可：△GCB′≌△DCF′。

②根据相似可以得到B′K与CF′的比值，然后得到B′K与B′C的比值，进而就可以求出各边的长，再求KG与KP的长即可，难度不大。

（3）根据BM∥F′B′，可以考虑用相似，但是没有相似三角形，因此需要延长B′F′与GH相交。根据tan∠G的值，可以得到各个边的比例关系，设未知数表示出两个三角形的面积即可得到面积比值。
【答案】（1）证明：如图1中，

在矩形中，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
（2）①证明：如图2中，

，
，，
，
，，
，
．
②解：设正方形的边长为，
，
△△，
，
，
在△中，，
，
，
由，可得，

，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，延长交的延长线于．

，，
，，
，
设．，则，
，
，
△△，
，
，，
，
，
，
△△，
，

，
，
，
，
．