中考数学压轴题分析：四边形相似问题

本文内容选自2021年苏州中考数学压轴题。题目以矩形为背景考查相似有关的知识点，题目难度中等，设计新颖。

【中考真题】

（2021·苏州）如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与相交于点．已知，设，．
（1）四边形的面积 　　四边形的面积（填“”、“ ”或“”
（2）求证：△△；
（3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值．

【分析】

（1）直接用a与b表示面积，判断是否相等即可。

（2）证明相似可以考虑边的关系，也可以考虑从角度的关系入手。发现两个三角形由一组对顶角相等，那么只需证明另一组角对应相等即可。由题目的已知条件可以得到△PP2F与△PP1H对应边成比例且夹角相等，那么就可以得到它们相似，进而得到对应角相等，那么就可以推出结论了。

（3）四边形的面积比，可以转化为相似比的平方。平时证明三角形相似比较多，那么如何证明多边形相似呢？根据定义，只需证明对应边成比例、对应角相等即可。角度的关系根据平行线的性质易得对应角都相等。边长的比例关系可以根据（2）的结论与已知条件得到相似比为2:1，那么就可以得到两个四边形的面积比为4:1了，也就是说S1与S2的比值为1：4。
【答案】解：（1）四边形为矩形，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
同理可得，四边形、、均为矩形，
，，，
，，，，
四边形的面积，四边形的面积，
故答案为：；
（2），，
由（1）知，，
，
即，
又，
△△，
，
，
△△；
（3）连接、，
，，
，
，
△，
，，
由（2）中△△，得，
，
，
△，
，
，，
，
．