2021年广东中考数学卷第25题（广东历史上最难数学中考）

已知二次函数y=axx bx c的图像经过点(-1,0)，且对任意实数x，都有4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6。

(1)求该二次函数的解析式。

(2)若(1)中二次函数图像与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C，M是(1)中二次函数图像中的动点。问在x轴上是否存在点N，使得A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在求出所有符合条件的点N坐标，若不存在说明理由。

解答

作图，画出三个图像

第25题图

（1）

已知4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6

计算不等式4x-12≤2xx-8x 6，xx-6x 9≥0，(x-3)(x-3)≥0，

当x=3时4x-12=2xx-8x 6，当x≠3时，4x-12<2xx-8x 6。

y=4x-12图像与y=2xx-8x 6相交于点(3,0)。

讨论二次函数y=axx bx c，当a<0时，图像开口向下，不满足题目条件。

当a>0时，图像开口向上，并且与x轴相交于点 (-1,0)。

如果函数y=axx bx c与x轴只相交于一点，二次函数y=axx bx c最小值为0，二次函数y=2xx-8x 6在x=2时有最小值-2，不满足axx bx c≤2xx-8x 6条件。

如果函数y=axx bx c与x轴只相交于两点，另一个交点一定在(3,0)处。因为只有这点才能满足4x-12≤axx bx c≤2xx-8x 6条件。

y=k(x 1)(x-3)，计算k值，k(x 1)(x-3)≤2xx-8x 6，化简变形可得(2-k)xx (2k-8)x (3k 6)≥0

△=(2k-8)(2k-8)-4(2-k)(3k 6)≤0，化简得(k-1)(k-1)≤0，k=1。

y=k(x 1)(x-3)=xx-2x-3，a=1，b=-2，c=-3。

（2）

y=xx-2x-3，与y轴相交于(0,-3)点。

分情况讨论

当CM和AN是平行四边形两条边时

有两种情况

作CM//x轴，M点坐标：(Mx,-3)。

Mx*Mx-2Mx-3=-3，解得Mx=0或者Mx=2，对应CM两点。MM点坐标：(2,-3)，CM=2。

AN=2，N点坐标（3-2,0)和(3 2,0) 就是(1,0)和(5,0)。

当CM和AN是平行四边形两条对角线时

有两种情况

设M点坐标(x,xx-2x-3)。P为CM中点。P点在x轴上。(xx-2x-3-3)/2=0，解得x=1±√7。

P点在x轴(1±√7)/2。|PA|=3-(1±√7)/2，N点x坐标=3-2|PA|。算得N(-2±√7,0)