复数——数的最后乐章

今天，小编来和大家聊一聊虚数和复数，让我们首先回到虚数和复数诞生及发展的历史中一探究竟。 1 虚数的肇始

虚数的诞生起源于对负数平方根的研究，第一位将看似无意义的负数平方根引入的人是16世纪的意大利数学家卡尔达诺.当时他试图将数字10拆成两个部分，使两者的乘积等于40.

卡尔达诺（1501-1576）

从方程的角度来解决这个问题，我们可设其中一个数是，则可列出方程

显然，该二次方程判别式小于0，无实数解.

卡尔达诺指出，尽管这个问题没有合理的解，但从数学上说，它的答案可以写成两个看似不可能的表达式：和.

这是因为：

并且

真是太奇怪了！如果真的存在这样的数，其加和和乘积均满足题意！这使得卡尔达诺感到非常疑惑，尽管卡尔达诺认为这两个“数”没有意义，完全出于幻想和虚构，但他还是将信将疑地把它们写了下来，他在著作《大术》中写道：

“

显然，该问题是不可能的.不过我们可以用这样的方式来求解：平分10，得5，自乘，得25.减去乘积自身（即40），得负15.从5中减去和加上该数的平方根，得到和，抛开精神之苦，将和相乘，得40，这一结果既精妙又无用.

卡尔达诺因此成了数学史上第一个使用负数平方根的人，但他显然并不能充分理解这种数.之后负数平方根便困惑了数学家们很多年，大数学家笛卡尔在其著作《几何学》中为“负数的平方根”取了一个很消极的名字——“虚数”，使其更加蒙上了一层神秘的面纱.

笛卡尔（1596-1650）

自从虚数诞生以后，数学家们也开始越来越频繁地使用这个概念，虽然在用的时候他们常常表现得疑虑重重.大数学家莱昂哈德·欧拉在著作《代数基础》中留下了这样的附言：

“

由于一切可以想象的数要么大于零，要么小于零，要么等于零，因此，我们显然不能将一个负数的平方根归入可能的数之中，我们必须说，它是一个不可能的量.由此我们产生了本质上不可能的数的思想，它们通常被称为虚量，因为它们只存在于想象（imagination）之中，是一种想象中的数（imaginary number）.

欧拉（1707-1783）和《代数基础》书影

直到1777年，欧拉在递交给彼得堡科学院的论文《微分方程》中首次使用了符号（取自imaginary的首字母）来表示的一个平方根，称为虚数单位，并据此系统地建立了虚数理论.

因此，我们可以这样说，虚数就好似正常数字（即实数）的虚幻镜像，所有实数都以1为基础，而所有虚数都以为基本单位，从而构造出所有的（纯）虚数.

不难看出，每个实数都对应了一个虚数，比如说

将实数和虚数进行结合，便形成了复数，在卡尔达诺的问题中，我们可以这样表示这两个复数解：

自此，人类对于“数”的认识才算完整了，回顾从自然数0，1，2，3……开始，加上负数、分数、无理数、虚数，最终成为复数的发展过程，可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河.

我们将复数集记为，结合我们之前学习过的数集，有

如果说数字是一支华丽的交响乐，那么复数便是它最后的乐章！

2 复平面

闯入数学王国后的两百多年里，复数一直没有一个直观的解释，直到两位业余数学家赋予了它简单的几何意义，复数才算被人们充分理解.这两位先行者分别是挪威的测绘员韦塞尔和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈.

按照这两位数学家的解释，复数可以表达为下图所示的形式，这也是最早的复平面的由来，下图表示复平面中的两个复数和.

我们发现，对于上述两个复数，实际上存在如下关系：

因此，从几何角度来说，用一个复数乘以虚数单位，相当于让它在复平面上对应的点绕原点逆时针旋转.

这样一来，“”或者说“”从几何角度就很好理解了：这相当于使得原来在复平面实轴上的点连续绕原点逆时针旋转两次，最终，它落在了点上.同样地，一个数乘以就相当于顺时针旋转.

所以我们可以把

看作是复平面上点的周期性旋转（旋转0次，1次，2次，3次，…），由此我们可以归纳得出一般结论：

3 寻找宝藏

我们不妨尝试用复数来解决一个有实际意义的简单问题.

有位爱冒险的年轻人从曾祖父的文件里找到了一张羊皮纸藏宝图，图上是这样描述的：

“

航行至北纬XX，西经XX，有一座荒岛.荒岛北面是一大片没有围栏的草地，上面耸立着一棵孤零零的橡树和一棵孤零零的松树.你还会看到一座古老的绞架，我们用它吊死叛徒.从绞架出发，走到橡树底下，记下步数；然后向右转，走同样的步数，在这个位置打下一根桩子.现在，回到绞架旁，走到松树底下，记下步数；然后向左转，走同样的步数，打下第二根桩子.财宝就埋在两根桩子的正中间.

藏宝图上的指示清晰而明确，所以这位年轻人弄了条船，径直向海岛驶去.他找到了那座岛，那片草地，也看到了橡树和松树，但不幸的是，经过了岁月的洗礼，那座绞架早已消失不见.这位爱冒险的年轻人陷入了绝望，随后他开始狂怒地四处乱挖，但他的努力完全变为了徒劳，因为这座岛实在是太大了！最后，年轻人只好悻悻地带着空空如也的船启程返航，可那座宝藏还埋在地下.

真是令人惋惜！要是这位年轻人懂一点数学，尤其是复数的应用，他本来是有机会找到曾祖父的宝藏的！现在我们来帮他找一找宝藏埋在哪里吧！

将荒岛视作复平面

如图，我们不妨把这座荒岛视作一个复平面；将两棵树相连，以这条直线作为实轴，同时在两棵树的连线中点作一条垂直于实轴的直线，作为虚轴.以两棵树距离的一半作为单位长度，即橡树与松树的坐标分别为和.

我们不知道绞架的坐标，所以不妨将它记为希腊字母（即的大写），正好这个字母看起来很像绞架.

绞架的位置未知，设其坐标为，因此我们也可以把它视作为一个复数：

由于两个复数的差所对应的向量即为两个向量的差，且.

则向量所表示的复数为

同理，所表示的复数为

按照藏宝图的指示，走到橡树、松树处时分别要右转（顺时针）、左转（逆时针），并继续走同样的步数至打桩处，所以这等价于在复平面中对上述两个复数分别进行顺时针和逆时针旋转的操作（长度不变），也即分别乘以和.

记两根桩子为和，则有

我们发现

而财宝在它们的中间，则

也就是说，绞架作为一个未知的坐标在计算中被消掉了！而财宝在复平面中对应的复数是一个定值，也即一个确定的坐标：.

所以，要是我们这位爱冒险的年轻人会进行那么一点点简单的复数运算，他就不用翻遍整座荒岛去寻找绞架，只需要在上图中的位置轻轻一挖，便能满载而归！事实上，想要挖到宝藏，我们根本无需知道绞架在哪，因为宝藏的位置与绞架的位置无关.

现在你体会到复数之美了吗？

参考文献[1]汪晓勤,沈中宇.数学史与高中数学教学——理论、实践与案例[M].华东师范大学出版社,2020.[2]（日）远山启.数学与生活[M].吕砚山等译.人民邮电出版社,2014.[3]（美）乔治·伽莫夫.从一到无穷大[M].阳曦译.天津人民出版社,2019.

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来源：大小吴的数学课堂