压轴题“一题精讲”(八):巧解三角形

解三角形是压轴题中常见的题型，常见的辅助线就是作高。有时，要求的某条边或者要求的某个角不止在一个三角形中， 如何选择恰当的三角形也是优化解题路径的方法之一。 常见的解三角形的路径如下： 情况1：已知SAS或SSA或AAS，作高后，利用三角比直接求出高BH的值，再通过解△BCH，求出CH的值，继而得到所要求的三角形的相关边长； 情况2：已知ASA，做高后，设BH=x，由sinA和sinC的关系，用含x的代数式表示AH及CH，继而求出x的值，再得到AB的值； 情况3：已知 SSS ，做高不设高，设AH=x，则CH=a-x，在二次解直角三角形，即在Rt△ABH和Rt△BCH中，二次利用勾股定理，得到x的值，继而得到sinA和sinB。

本题的背景是已知“SSA”，根据题意，首先应该尝试解△ABC，通过过点A作BC边上的高，借助勾股定理和sinB(cosB)，两次解三角形，可以求出边BC的长度。

本题的第(1)问通过作两次高，即可求出C到AB的距离，比较简单。

本题的第(2)问是图形的旋转，△ABC可能绕点A顺时针也可能绕点A逆时针旋转。 第①问中由于点D落在BC上，因此△ABC绕点A逆时针旋转60°。对于图形的旋转，常见的位置在18题。对于此类问题，画出准确的图形是解题的第一步。 如图①，首先，以A圆心，AB为半径画圆，交BC于D，确定△ABD为等边三角形，且旋转角为60°；接着，将AC绕点A旋转60°，得到点E，联结CE、DE。然后将特殊角60°和相等的边用不同的颜色标注，便于发现图中的全等形和相似形。 如图②，通过分析，可以发现∠CED=∠DAC；如图③，因此目标锁定在解△ACD即可，△ACD也是已知SSA的情况，解三角形的步骤同第(1)题 。

小提示： 当图形比较复杂时，可以把要解的三角形“抽象”出来，便于快速发现辅助线的添加。

第②问中有两种旋转方向，需要分类讨论。

情况1的难点在于辅助线的添加，利用等腰梯形的性质求解，值得注意的是BE既在△ABE中又在△EBM中，因此选择合理的三角形求解是问题解决的关键；情况2的难点在于证明D、B、E三点共线。

2021静安一模25题