[连载1]鸡兔同笼，每个人都能解决的代数问题！

无论是小学奥数中，还是在初中常规方程中，鸡兔同笼问题都是非常典型的.

鸡兔同笼问题，不仅是我国古代数学名题，也是多种数学思想与解题方法的载体.学霸数学小编以此题开篇，以敬先贤，也希望以此挖掘归纳出此题的思想方法，让同学们掌握方法的同时，更多的了解数学问题中的文化内涵.文尾也会留下相同的问题，供同学们解答.

在中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》中就有“鸡免同笼问题”：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉兔各几何.”翻译成现代文：若干只鸡与兔子同关一处，从上看有35个头，从下看有94条腿，问有鸡兔各多少只？

古人对于“鸡兔同笼”问题早已经给出了许多精妙解法.例如在《孙子算经》中说到：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得.此方法就是半足法.而《算法统宗》给出了两种算法：一种是“置总头倍之得七十，与总足内减七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八，总足减之余四十六足为鸡足，折半得二十三”；另一种算法叫做倍头法，就是先求鸡的只数.

可能多数同学看不懂上述古文表述，下面我们分析一下现代人们的解法：

解法一：半足法，也称“金鸡独立”法

我们假定鸡和兔子通人性，能听懂人话，也能服从主人的命令，主人吹个口哨，一声令下，所有的鸡抬起一条腿，而兔子抬起两条腿，这时候我们如果蹲到地上，一数腿数，就会发现地上腿的总数变成了原来的一半，即47条腿.而鸡的腿数与头数相同，一条鸡腿就代表一只鸡，而兔的腿数是兔的头数的2倍，这意味着每条多出来的腿代表着一只兔子，因此从47里头减去头数35，剩下来的就是兔的头数12只，于是鸡有35-12=23只.

解法二：抬脚法

此方法在以前的算学课本中很常见，也是我国更相减损术的一个应用，晚清民国时的算术启蒙基本都采用这种方法.仍然是假设鸡和兔子都通人性，一声令下，鸡跟兔子都两时抬起两条腿，这时鸡扑通一声，坐到了地上，而兔子还有两条腿立在地上，地上总有剩下94-35×2=24条兔子腿，故兔共12只，鸡23只；当然，此法也可进行用“砍足法”来求解，同学们可以大胆尝试.

解法三：极端假设法.在新中国成立后，由华罗庚等人参与编纂的数学读物里常出现的解法

假设所有的兔子都变成了鸡，那么如果是35只鸡，就总共会有70条腿，但实际的腿数却有94条，我们假设的比实际数目少24条腿，变少的原因在于兔子的腿少数了2条，于是兔子的只数24÷2=12只，鸡23只.当然，假设全是兔时，思路一样,同学们可以试一试

解法四：公平设计法.

中国科学院院士张景中教授给出一种被称为“公平设计法”的解法：兔子有4条腿，而鸡却只有两条腿，这简直就是种族歧视，实在不公平，所以我们就将鸡的两个翅膀也看作腿，那么总共有35×4=140条腿，如果不把翅膀当作腿时，那么腿只有94条，所以多出的140-94=46条腿，是鸡翅，于是鸡的只数46÷2=23只，则兔有12只.

以上解法主要对相应的数据进行改变，通过差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法，此为假设法.当然，除了上述4种方法外，我们还可以使用方程，一元一次方程和二元一次方程组都可以轻松解决；也可非常巧妙的通过面积法来解决；

解法五：一元一次方程

设鸡的数量为x只，则兔子为(35-x)只，2x+4(35-x)=94,解得x=23；

解法六：二元一次方程组

设鸡的数量为x只，兔的数量为y只，则x+y=35,2x+4y=94,x=23,y=12；

解法七：面积法

李树清在《鸡兔同笼问题的解法探讨》一文中提出把鸡兔同笼问题变成一道几何题来做，如下图，AB=35，表示共35个头，BC=2，表示鸡的两条腿，AF=4，表示免的4条腿，总面积为94，求AH和BH，即兔、鸡各有多少只？

此法的巧妙之外在于将代数问题转化为几何问题，腿的总数=鸡头数2+兔头数2，转化为长方形的面积=长宽，

S_AHEF+S_HBCD=AH∙HE+BH∙BC=94，延长CD交AF于点G，S_ABCG=35×2=70，故四边形GDEF的面积为94-70=24,FG=2,所以EF=24÷2=12，即兔子为12只，鸡为23只.

综述：鸡兔同笼问题虽易，但它可能是多数人接触到的第一个有方程思想的古代数学名题；方法中抬腿、砍足法的应用，天马行空却不失其合理性.

留下以下两个问题，供同学们思考：

①有鸡和兔共40只，有120条腿，问鸡兔各多少只？

②小明买了铅笔和钢笔共30支，铅笔2元一支，钢笔5元一支，共花了120元，问铅笔和钢笔各多少支？