拓展：与一元二次方程解法、根的判别式和整数根相关的内容

01 解含字母系数的一元二次方程

方法点睛

对于含字母系数的一元二次方程，在解方程时，一定要注意二次项的系数，注意区别“关于x的方程”和“关于x的一元二次方程”的区别。在解方程时，注意分类讨论，即二次项系数能否为0，同时，往往可以采用“十字相乘法”因式分解。在分解后，需要验证，二次项系数、一次项系数和常数项能否“还原”，尤其注意符号。

解法分析： 由于是解“关于x的方程”，因此需要对二次项系数分类讨论，即二次项系数为0时，化为一次方程求解；当二次项系数不为0时，采用十字相乘法进行因式分解求解。

解法分析： 本题在第1题的基础上除了对二次项系数进行分类讨论外，还引入了“整数解”，对于含“整数解”的问题，往往化为 x=字母系数(特点为1+常数/字母系数） ，如上题，化为特殊形式后，a-1为2的因数，即可求出a的值。

解法分析： 本题在第2题的基础上除了对二次项系数进行分类讨论和整数解外，引入了两个不同的字母系数，根据题干“m≠n”，得到m关于n的等式，按照第2题的方式进行变式，继而得到整数m和整数n的值。

02一元二次方程根的判别式

方法点睛

解决有关字母系数的取值范围问题，首先应想到分类讨论.即分成二次项系数为0的方程是一元一次方程，和二次项系数不为0的方程是一元二次方程两种情况讨论，再综合两种情况确定最终答案。
对于一元二次方程，当方程有实数根时，△≥0；当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；当方程有两个相等的实数根时，△=0；当方程没有实数根时，△<0。

解法分析： 本题是对于方程实数根的情况的讨论，首先讨论二次项系数是否为0，其次再根据二次项系数不为0时，讨论判别式的情况。

解法分析： 本题在第1题的基础上又增加了一个方程。首先根据第一个方程确定字母系数的范围；然后对于第二个方程按照第1题的方式开展分类讨论。

解法分析：本题的难点在于因式分解，因式分解得到a+b=ab后，若同时除以ab则会造成错误，因为不能判断ab的值是否为0，因此需要讨论a=0或b=0的情况是否成立，才能得到a≠0且b≠0的情况。

解法分析： 第4、第5题的难点在于需要根据方程有实数根讨论字母系数的范围。这两道题目的解题思路和方法都比较新颖，需要仔细揣摩。

03一元二次方程的整数根问题

方法点睛

处理一元二次方程的整数根问题有三个思路：

一是利用“十字相乘法”，将含有字母系数的一元二次方程进行因式分解，直接求出方程的根（方程的根含有字母系数），在通过根为整数以及字母系数的条件（一般为整数）两个条件确定字母系数的值，从而求出方程的整数根。

二是在一元二次方程无法因式分解的条件下，利用判别式大于零，求出未知参数的取值范围，再根据字母系数也为整数等条件，从而确定字母系数的值，从而求出方程的整数根。

三是在利用判别式大于零扔无法求出字母系数的条件下，利用判别式为完全平方数的条件，建立关于字母系数和这个完全平方数的不定方程，通过求解这个不定方程的整数解来确定字母系数的值和方程的根。

解法分析： 本题的第1问就是一元二次方程判别式的讨论，注意二次项系数不为0；本题的第2问先根据方程1确定k的值，然后按照上述的三种方法进行选择，采取将判别式配成完全平方式进行讨论。

解法分析： 本题的第1问就是一元二次方程判别式的讨论；本题的第2问由于两根有确定的取值范围，因此可以结合二次函数的图像进行讨论；本题的第3、4问在第2问的背景下通过代入m的值，求出x的值，再和题干对比，确定满足题意的m的值。