2022深圳中考数学压轴题分析2：折叠与几何求值问题

本题内容选自2022深圳中考数学压轴题，以矩形、菱形和正方形为背景，考查折叠产生的线段求值问题。

此类问题主要涉及全等、勾股、相似和三角函数等知识进行求解。

【题目】

（2022·深圳）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；

（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．

（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．

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【分析】

（1）本题非常简单，直接根据HL即可列出结论。

题目的模型就是常见的正方形半角模型。

（2）如图，根据折叠可以得到△ABE≌△FBE，则BF=AB=6。

设CH=FH=x，因为BC=8，可以根据勾股定理得到x的值。

8²+x²=(6+x)²，解得x=7/3。

如上图，连接GH，可以得到△GHF≌△GHC（HL），此时可以得到GF=GF，

再根据△BFG∽△BHC，可以得到BF/FG=BC/CH，

求出CG=FG=7/4，

那么就可以得到BG=8-CG=25/4，

根据对称+平行，可以得到BG=FG，那么就可以得到AE=EF=8/4=9/2。

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（3）本小题为压轴一问，由于点E为CD的三等分点，因此点E有两种情况，需要分类讨论。

先从E1开始分析。

如图，画出图形，延长PE交AD于点G。根据折叠，可以得到上面的两个红色三角形全等，即△AED≌△AEF。

同时也可以得到△AEG≌△AEH，再过点G作GM⊥CD于M。

设EH=x，那么GE=EH=x，

由于∠EAD=∠EAH，那么就可以根据角平分线的性质与面积公式，

得到DE/EH=AD/AH，即2/x=6/AH，则AH=3x。

那么就可以得到AG=AH=3x，那么DG=6-3x。

此时根据含60°角三角形的边角关系（勾股、三角函数等），

可以得到DM=(3-3x/2)，GM=√3(3-3x/2)，EM=(3x/2-1)。

在Rt△GME中，根据勾股定理，可以求出x的值。

EM²+GM²=GE²，即(3x/2-1)²+3(3-3x/2)²=x²，

解得x1=2（舍去），x2=7/4。

那么就可以得到DG=6-3x=3/4。

因为△DGE∽△CPE，那么就可以得到PC=2DG=3/2。

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当点E靠近点C时，如下图所示。

此时可以设GE=x，那么就可以得到GE/EF=AG/AF，

即x/4=AG/6，AG=3x/2，

那么就可以得到DG=3x/2-6。

进而得到DM=3x/4-3，GM=√3(3x/4-3)。

那么EM=4+DM=3x/4+1。

在Rt△GEM中，GM²+EM²=GE²，

即3(3x/4-3)²+(3x/4+1)²=x²，

解得x1=4（舍去），x2=28/5。

那么就可以得到DG=12/5，

根据△DGE∽△CPE，那么就可以得到PC=1/2DG=6/5。

综上所述，可以得到PC的长为3/2或6/5。

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【总结】

折叠是比较常见的问题，本题利用角平分线的性质得到比例关系，有助于快速解题。

具体方法介绍请看《中考数学压轴题全解析》。