中考专题·压轴赏析｜抛物线与点线（段）平移-经典系列（2）
近几年中考真题汇总系列：
抛物线与点线（段）平移-经典系列（2）
【图文解析】
此类试题常见思路是：结合函数图象，先找出特殊点的坐标，检查是否符合条件，再次结合图象，即可求出。 已经条件中，M、N点是确定，抛物线a的值不确定，因此，首先必需满足：抛物线的对称轴x=1/(2a)满足－1＜1/(2a)＜2（可结合y=1/(2x)的图象解得a＞1/4或a<-1/2）；同时要分a的值的符号分情况讨论。 当a＜0时，根据根据题意，可画出符合条件的图（仅是草图，分析用）：
由于抛物线过定点点（0,2）（在线段MN的上方），显然必需满足：
①抛物线的对称轴x=1/(2a)满足－1≤1/(2a) ≤2（可结合y=1/(2x)的图象解得a≤1/4或a≤-1/2）；
②点M和N的横坐标对应的抛物线上的点的纵坐标分别不大于它们的纵坐标即可，即：当x＝－1或2时，应同时满足yC≤yM和yD≤yN可。
当a<0时，有a+1+2≤2且4a-2＋2≤1，
解得a≤-1. 又因a<-1/2，所以a≤-1.
当a>0时，如下图示（仅是草图，分析用）：
同理，可得：当a＞0时，有a+1+2≥2且4a-2＋2≥1，解得a≥<1/4. 另一方面，如下图示：
可求得：得直线
MN
为
y
＝－1/3
x
＋5/3，
联立直线与抛物线的解析式，
并化简，得：3
ax
2
－2
x
＋1＝0，
由△＞0得a＜1/3.
所以这一情况是：1/4≤
a
＜1/3.
综上所述，
a
的的取值范围是：
a
≤－1或1/4≤
a
＜1/3.
另解：联立直线MN与抛物线的解析式后， 得：3 ax 2 －2 x ＋1＝0. 设该方程有两个解为 x 1 ， x 2 ， 且－1≤ x 1 ＜ x 2 ≤2. 令 y ＝3 ax 2 －2 x ＋1， 当 a ＞0时，如下图1所示，
【反思】判别式与对称轴、特殊点的坐标特点，需注意三者间的联系！
【拓展】在平面直角坐标系xoy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y＝x2+ax＋c与线段MN有两个不同的交点，且c=1-2a，求a的取值范围.（改编，仅交流用，不提供答案）
提示：解题思路与原题类似.
【图文解析】
（1）
简析：
利用待定系数法，只需将A、C点代入y＝ax2+b1x+c1中，求得：
（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0). 先分别求出过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式；分别为：L1为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；L2为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m. 进一步，通过配方，求得:顶点D、E的坐标分别为：
如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2. 分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：
附：实际符合条件的图形如下：
（3）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0). 抛物线的解析式分别为：
如下图示，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
假设AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2.
分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2得：
【图文解析】
（1）简析：只需将点B、点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得关于a、b的方程组，即可得到a、b的值. 答案为 y=1/4x 2 +3/2x+4. （2）由于A（0，4）、B（－2，0），C（8，0），得OA＝4，BC＝10. 设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．如下图示：
法一：先求S△ABN＝0.5×(n+2)×4＝2n+4. 由于 A 、 M 、 B 三点共线，所以 S △ AMN ： S △ ABN ＝ AM ： AB ；另一方面，由 NM ∥ AC 可得 AM ： AB ＝ （ 8 － n ）： 10 ，所以 S △ AMN ： S △ ABN ＝（ 8 － n ）： 10 ，化简，得：
因﹣1/5＜0，当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大.
法二：由A（0，4）和C（8，0）先求出直线AC的解析式为y=－1/2x+4，再 由A（0，4）和B（－2，0）求出直线AC的解析式为y=2x+4. 因为NM∥AC，所以可设直线<> 的解析式为 y= － 1/2x+b ，将点 N （ n ， 0 ）代入， 1/2n+b ＝ 0 ，解得 b=1/2n ，所以直线<>
所以，S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝0.5×BN×OA－0.5×BN×<> ＝ 0.5 × BN × (OA －<>
【反思】虽然第二种方法较繁，但两种解法都是常用的解题思路.
（3）由（2）得N（3，0），此时N为BC边的中点，如下图示：
由NM∥AC可得：AM：BM＝CN：BN＝1：1，即AM＝BM.
在Rt△AOB中，由AM＝BM可得，OM＝1/2AB.如下图示：
分别在Rt△AOB和Rt△AOC中，由勾股定理，得AB＝2×根号5，AC＝4×根号5，所以AB＝1/2AC。如下图示：
（也可用相似来证AB＝1/2AC）.
所以OM＝1/4AC.
都阅读到这里了，请在文末点个赞和点在看，再走吧！ 另：新开的一个视频号，主要发布几何画板案例精选：
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