高考数学秘笈：四步解题法18——揭示本质之本质特征

冯跃峰

所谓揭示本质，就是从本质上把握事物的特点与性质。

数学问题的本质，是指那些直接影响解题的有关信息。它主要包括两个方面：

一是本质特征，即问题具有的与解题有关的一些特点和性质。

二是本质要求。任何数学问题都对解题者提出了明确的要求，“明确目标”仅仅是认识了题目要求的表象，但这种要求的本质是什么？由条件到结论实质上是要做一项什么工作？还需要解题者从更高的层次上去把握。

我们看一个例子。

例1、设f（x）是R上的增函数，且求f（x）。

【分析与解】先明确目标，求出所有合乎要求的f（x）的解析式。

以题中给出的两个条件为起点，可建立如下解题主线：

f（x）是R上的增函数，——→ f（x）=…

遗憾的是，这两个条件如何运用？一时还难以看出端倪。

比如，如何利用“f（x）是R上的增函数”？根据增函数的本质特征，要利用增函数进行推理，需要先有一个不等式“u<v”为推理的前提。在此基础上，两边增加函数符号“f”，不等式不改变方向，即由u<v得到

f（u）<f（v）。

将此特征与目标比较，显然的差异是：目标为等式，而条件为不等式。

由此想到，为了利用条件，目标能否用不等式的形式来刻画？

假定f（x）的解析式已经求出，设为p（x），则目标变为

f（x）=p（x）。

它的含义是，对任何实数x，等式都成立，没有例外。

现在要将目标转化为不等式，则只需排除哪些“例外”即可：假定存在x₁，使

f（x₁）≠p（x₁），

则有两种可能：

或者f（x₁）<p（x₁）；

或者f（x₁）>p（x₁）。

将这两种情形都否定掉即可。这也就为利用函数的递增性创造了时机。

现在需要做的事情是，确定p（x）是什么。这可借助另一个条件：

联想到反函数图像的相关知识，可知f（x）的图形沿直线y=x对称后，图像与本身重合，由这一几何特征，不难发现p（x）=x（当然，几何直观需要辅之以代数的严格证明）。

至此，我们只需证明，

f（x₁）< x₁、f（x₁）> x₁

都不可能成立即可。

这采用反证法推理模式，结合函数的单调性，问题迎刃而解。具体解答如下：

【新写】首先，f（x）=x是合乎条件的函数。

下面证明它是唯一合乎条件的函数。

假定存在x ₁，使f（x ₁）<x ₁，那么，因为f（x）是R上的增函数，有

f（f（x ₁））< f（x ₁）。

又由题意，有

代入上式，得

即x ₁< f（x ₁），这与假设矛盾。

所以，对一切x，恒有f（x）≥x。

同样可以证明，对一切x，恒有

f（x）≤x。故f（x）=x。

下面看一个简单的例子。

例2、一根长为l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（厘米）和时间t（秒）的函数关系是 。

（1）求小球摆动的周期；

（2）已知g=980厘米/秒²，要使小球摆动的周期是1秒，线的长应是多少厘米？

【分析与解】本题选自中学数学课本，它包含了多种信息。其中有些信息与解题是无关的，如“线”、“小球”、“平衡位置”、“位移”、“时间”等，这些都对解题没有影响；

而有的信息则与解题密切相关，如“周期”、“函数 等。略去那些次要内容，即可看出，第一问的本质特征，就是求形如

u=Acos（ωx+φ）内函数的周期。

第二问则不过是反过来由周期求常数l，认识到这一点，问题就不难获解。

显然，对于（1），小球摆动的周期

T==

=。

对于（2），令T=1，则

解得

≈24．85（厘米）。

我们再看一个难度稍大一点的例子。

例3、设x>2，求的值域。

【分析与解】见到这种形式的值域问题，不少同学立马想到“判别式法”。

但殊不知，这里有附加条件“x>2”，与通常值域问题存在差异：需要讨论相应二次方程在（2，+∞）上的根的分布，过程很繁。

又或者想到分离整数部分的变形技巧，虽然过程相对上一方法简单些，但仍较繁。

我们这样来理解问题的本质特征：令，则所求值域，就是y的取值范围。

更广义地说，只要能求出某个关于y的函数q（y）的取值范围，然后解不等式，即可得到y的取值范围。

由于y与x相关，从而q（y）亦与x相关，可以表示为：p（x）=q（y）（参数分离形式）。

如果其中p（x）是我们熟悉的基本函数，容易求其值域，则问题迎刃而解：设p（x）的值域为A，有q（y）∈A，由此即可得出y的变化范围。

有了对问题本质特征的认识，解题思路则豁然开朗，具体解答如下：

【新写】令，则

。

整理，得

分离参数，得

所以，，

进而

即

因为x>2，所以

所以

即

这等价于（2y-1）（y-1）<0，

解得<y<1，

故f（x）的值域为（，1）。

下一个问题解法与之类似，留给读者作为练习。

例4、设-1<x<1，且x≠-，

求的值域。

【分析与解】本题若用分离整数部分的变形技巧，则过程较繁，因为涉及到负数取倒数的变形。下面采用把握目标本质特征（广义目标）的思路，则过程较为简单。

令，则2xy+y=1-x，

所以（2y+1）x=1-y，

所以。

因为-1<x<1，所以-1<<1。

由，得，

即，所以y<-或y>0。

由，

得，

所以y<-2，或y>-。

故的值域为

（-∞，-2）∪（0，+∞）。

【一点说明】 所有文章免费阅读，谢谢转发、分享。