初中几何最值问题基本模型：搭桥模型

搭桥模型1

已知：如图①，直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点（直线AB不与m垂直）.

要求：在m,n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（）.

作图：如图②，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A'，使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB最小.

证明：由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

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搭桥模型2

已知：如图①，定点A,B分布于直线m两侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（）.

作图：如图②，将点A沿着平行于m的方向，向右移至点A'，使AA'=PQ=a,连接A'B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ，即A'B+a.

证明：由作图过程可知四边形APQA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

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搭桥模型3

已知：如图①，定点A,B分布于直线m的同侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB的周长最小.

解析：AB长度已经确定为定值，只需要AP+PQ+QB最小，可通过作A点关于m的对称点，转化为基本模型（）.

作图：如图②，作A点关于m的对称点A'，将点A'沿着平行于m的方向，向右移至点A''，使A'A''=PQ=a,连接A''B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时四边形APQB的周长最小为A''B+AB+PQ，即A''B+AB+a.

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在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭