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与半角模型相关的“一题十二变”

与半角模型相关的“一题十二变”

问题背景


与半角模型相关的“一题十二变”

与半角模型相关的“一题十二变”

（以上题目来源于网络）
与半角模型相关的“一题十二变”

01

巧借旋转、翻折构造全等三角形


与半角模型相关的“一题十二变”

借助∠EAF=45°，借助翻折、旋转等运动，构造全等三角形，从而将原来不在同一直线(同一三角形)的三条线段转化在同一直线(同一直角三角形)中，寻找线段间的数量关系。

与半角模型相关的“一题十二变”

本题的第一问需要证明EF=BE+DF， 由于三条线段都不在一直线上 ，因此借助 ∠EAF=45° ，通过 旋转△ABE ， 利用两次三角形全等 ， 将线段EF、DF和BE都转化到线段PF上 ，因此达到线段的转化。

与半角模型相关的“一题十二变”

与半角模型相关的“一题十二变”

本题的第三问涉及到了“ 一条线段的平方等于另两条线段的平方和 ”，因此联想 构造直角三角形 ，借鉴第一问的方法，可以 通过旋转构造全等三角形 ，将所有线段转化到 直角△DQN 中，利用 勾股定理 证明线段间的数量关系。 同样，借助翻折也可以构造直角三角形，方法如下：

与半角模型相关的“一题十二变”

在等腰直角三角形中同样适用

与半角模型相关的“一题十二变”

与半角模型相关的“一题十二变”

本题的第四问同样涉及到了线段的平方和， 但是左边是2倍的平方和，因此联想到“√2” ，即联想到等腰直角三角形，因此本题的关键在于 构造全等三角形和直角三角形，同时要发现其中隐含的等腰直角三角形 。对于另一种情况，采取同样的构造方法。

与半角模型相关的“一题十二变”

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与半角模型相关的“一题十二变”

本题的第六问涉及到了线段间的数量关系。因此需要将BA和BE转化到一条线段上，借助旋转，构造全等三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行进一步的转化。(其中一组等边利用第五题的结论得到)
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02

构造相似三角形

与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第二问涉及到了角相等的证明，根据第一问可以得到一组等角。但是 另一组角需要利用图中丰富的“斜X型相似三角形”进行转化 。

与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第五题要证明△ANE为等腰直角三角形，联想与△ACD相似，通过边的转化，可以 利用△ACE与△ADN相似得到AE:AN=√2 ，因此本题通过两次相似进行证明。

与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第七题和第八题借助第五题的结论，通过 相似三角形对应边成比例，得到相应线段的比值 。

与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第十一题利用相似三角形的性质“ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ”，得到相似三角形间的数量关系。 与半角模型相关的“一题十二变”

03

借助平行线分线段成比例定理


与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第九题通过作平行线， 借助平行线分线段成比例定理证明中点 。

与半角模型相关的“一题十二变”

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本题的第十题在第九题的基础上，结合等腰直角三角形的性质，证明线段间的倍半关系。

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END

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直角三角形数学

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