2022百色中考数学压轴题分析：两动一定等腰三角形的存在性问题

本题考查等腰三角形的存在性问题，两个动点一个定点，难度较小。本题在几何题中也经常出现。大家可以参考往期的文章。

【题目】

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（2022·百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：∠BOF＝∠BDF；

（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．

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【分析】

（1）待定系数法，代入点坐标即可得到抛物线的表达式。

所以抛物线的表达式为y＝-x²+2x+3；

（2）本题属于几何题，根据正方形的性质可以得到结论。

如图，易得△BOF≌△BOD（SAS），进而得到∠BOF＝∠BDF。

本题与甘肃中考数学压轴题有类似的地方。

（3）本小题为本题的压轴一问，需要进行分类讨论。

题目已知点M在射线BD上运动，使得△MDF为等腰三角形。可以分为点M在线段BD上或在点D的右侧两种情况进行讨论。

①当点M在点D的右侧时，易得∠MDF＞90°，因此只能使得MD=DF，只有一种情况。

当DM=DF时，可以得到∠DMF=∠DFM，无法确定线段的长度。

此时可以设∠DMF=∠DFM=x，

那么就可以得到∠BFD=90°-x/2，∠BDF=2x。

那么在△BDF中，得

45°+2x+90°-x/2=180°，

此时x=30°。

那么就可以得到△OBM为含30°角的直角三角形，

BM=√3OB=3√3，

那么ME=3√3-2。

②当点M在点BD之间时，与①类似。

由于∠DMF＞90°，那么也只有一种情况。

设∠MDF=x，则∠BOF=∠MFD=x，

∠BFM=∠BOF-∠OBF=x+45°，

易得∠BMF=2x，

那么就可以得到∠BFM=180°-∠MBF-∠BMF

=180°-45°-2x

=135°-2x

所以可以得到x+45°=135°-2x，

解得x=30°。

那么∠BOF=30°，

OB=3，

那么可以得到BM=3/√3=√3。

则ME=BE-BM=2-√3。

综上所述，ME的长为3√3-2或2-√3。

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当然，本题还可以通过设直线解析式用坐标的方式求解。

【方法二】——函数法

设直线的解析式为，
当时，，
则点的坐标为。
易得直线的解析式为。
与的解析式联立，得

，
求得点 的坐标为 。
①当点 在 之间时， ，
则 ，
求得 。
则 。
①当点 在 延长线上时， ，
则 ，
求得 。
则 。
综上所述，求得 的长为 或 。

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【总结】

本题的等腰三角形存在性问题，属于两动一定类型，相比函数法，从角度方面入手比较简单。

《中考数学压轴题全解析》中有相关的章节介绍。