​初三中考培优74：2019越秀区九上期末压轴题解析（隐形圆难题）

1. ggb进阶158：利用球的交点巧妙绘制立体图形（2021.11广东大联考12题棱锥的外接球）
2. geogebra领悟系列69：立体几何中的折叠问题（棱锥外接球）和美丽的玫瑰线
3. 初三中考培优73：经典手拉手模型的4道问题（教材P83，T12习题变式），共顶点的等边三角形和全等

本文探讨如下的问题：

第一问为送分题，解答如下：

第二问为计算线段长。

如何求线段的长度？

这是初中数学几何的一个常考的基本问题。

能度量出线段长度的知识点主要有三个：勾股定理，全等或相似转化，三角函数计算，还可以建系利用代数方法求等。

第三问涉及一个隐形圆。

为何？因为∠FEC=90°，

但是EC不是定值，所以一定要连接AC，

即如下图：因为AC是定值，∠FEC=90°，

设AC的中点为O，所以点F在圆O上运动。

正因为点F在圆上运动，所以才有可能去求相关的最值。

（初中动点的轨迹主要为直线型或者圆弧形）。

利用ggb作出动态图形如下：

这个是题意非常简洁的题目！

出题者水平高啊！

能在简单的图形背景下出一个有一定难度的压轴题！

如何求线段的比值？

初中经常需要利用相似进行转化！

高中则可以直接建系——代数化——求解。

如下图：

解题思路小结：

(1)利用平行四边形的性质求解即可.

(2)如图1中，作AH⊥CD交CD的延长线于H.直角三角形求出AH，EH,利用相似三角形的性质求解即可.

(3)如图2中，作△AFC的外接圆00，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交日0于M,作FP // CD交AD的延长线于P，作MN // CD交AD的延长线于M，作NQ⊥CD于Q.由DE/PF,推出AF/AE=AP/AD，因为AD是定值，推出PA定值最大时，所求的值最大，观察图象可知，当点F与点M重合时，PA定值最大，最大值=AN的长，想办法求出AN即可解决问题.

反思1：如果不用隐形圆，利用高中的函数和导数知识也是可求解的！

关于这个函数的极值，可以利用高中的求导可得如下：

加上1之后，这样结果和初中方法是一样的。