【典型例题】勾股定理在折叠问题中的应用

题型1

（月考·陕师大附中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使B点与A点重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

【解析】

设CD=xcm，则BD=BC-CD=（8-x）cm，由折叠的性质可得AD=BD=（8-x）cm.

在Rt△ACD中，AC2+DC2=AD2，即62+22=（8-x）2，解得x=.

题型2

（期末·18-19西安铁一中）如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则EC等于（ ）

【解析】

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD=BC.

∵AB=6

∴S▲ABF=24.BF=8,∴AF=6

由折叠的性质，得AD=AF=10.

BC=AD=10.

FC=BC-BF=10-8=2设EC=x，则DE=EF=6-x在RT△EFC中，（6-x）2=42+X2，解得x=

题型3

（期中·陕科大附中改编）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使A与C重合，若长方形的长BC为16，宽AB为8，则折叠后不重叠部分的面积是（ ）

A.40 B.24

C.48 D.80

【解析】

设FC=x，则BF=16-x.

∵四边形ABCD为长方形，

∴△ABF为直角三角形，

AB2+BF2=AF2，即82+（16-x）2=x2，解得x=10，

BF=6..S△ABF=8×6÷2=24

AD//BC，.∠AEF=∠EFC，由图形折叠的性质可知，∠AFE=∠EFC，AD'=CD=AB.

∠AEF=∠AFE，.AE=AF

∵Rt△ABF≌RT△AD'E.

∴不重叠部分为△ABF和△AED'，不重叠部分的面积=2×24=48.

题型4

（月考·19-20西安铁一中改编）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长.