四步解题法（高中数学）3——实例示范1

本节我们用几个具体例子，介绍“四步解题法”的实际操作过程（四步解题法的内容，请查阅前面的文章）。

首先要讨论的，就是在“四步解题法之整体框架”中谈到的那个变异后的极值问题:

例1、已知x+2xy+4y=1，求x²+xy-x+2y的极小值。

【分析与解】 先“明确目标”：问题的目标状态是“x²+xy-x+2y≥常数”。

经验告诉我们，达到这一目标的常用方法是，通过换元或消元，使之化为一元函数的极值求解或利用基本不等式求解。

然后“寻找条件”：已知条件为x+2xy+4y=1，发现其功能是：式子x+2xy+4y可以换作常数“1” （整体消元）。

接着“发现差异”：比较两个状态的差异，发现目标状态含有“xy+2y”，它与条件中的式子“x+2xy+4y”比较接近，但又不尽相同。

下面来“构造相同”：先将系数变得相同，这将“xy +2y”乘以2，即可变成条件中式子的一部分“2xy +4y”。再配上x，就可利用条件，整体式子换成1（消元）。于是想到下面的变形：

x²+xy-x+2y=[2x²+（2xy+4y+x）-3x]/2=（2x²-3x+1）/2。

至此，问题已被转化为求（2x²-3x+1）/2的极小值，而这个问题是“已经”解决了的，故可实施解题方案。详细解答留给读者完成。

上面的分析过程告诉我们，解题的关键在于那种构造性的凑配，而这种凑配来源于对条件与结论间的差异的认识，只要想到“构造相同”，以利用条件，解题便水到渠成。

显然，在上面的分析过程中，我们只进行了一个“循环”，就发现了解法，这是一个较易分析的例子。而且，一旦掌握了这种分析的本质，解题过程还可简化。

实际上，我们只须将条件式变形为xy+2y=（1-x）/2，然后代入所求极值的式子即可。这种局部性的构造，来源于对局部差异的认识。

例2、对一切实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，讨论f（x）的奇偶性。

【分析与解】 先明确目标：本题的目标是证明f（-x）=f（x）；或证明f（-x）=-f（x）；或以上两式同时成立；或找到反例，说明以上两式均不成立。

现在来寻找条件：题给条件为

f（1）=1，且f（x+y）=f（x）+f（y） ①

由于目标有多种可能，我们希望利用条件，否定其中一些可能，使目标变得更具体，这只须找一个符合①的特殊函数来试验。

取f（x）=x，此时f（x）为奇函数。又f（1）=1，从而f（1）不恒为0，不可能是“既奇又偶”函数。由此可知，我们的目标是，证明或否定

f（-x）=-f（x）。 ②

下面发现差异：观察①与②，发现它们的差异是，目标②中不含y而含有“-x”。这样，不难想到“构造相同”的方法是，在①中令y=-x。

于是，由①得f（0）=f（x）+f（-x） ③

继续发现差异：再比较②与③，为了便于发现差异，我们把②改写为0 =f（x）+f（-x）。

至此，问题已发生转化，目标已变为证明或否定f（0）= 0。

现在进一步发现差异：再观察条件①，发现⑤与①的差异是，⑤中不含x、y，于是，可在①中令x=y=0来消除差异，实现目标⑤。

于是，由①，得f（0）=f（0）+f（0），故 f（0）=0。

至此，问题已被解决，详细解答留给读者完成。

显然，本题的分析过程中，进行了多个子循环：“明确目标，发现差异，构造相同”。