很多同学上了高中之后，都会在第二章《不等式》的学习中遇到不小的困

很多同学上了高中之后，都会在第二章《不等式》的学习中遇到不小的困难。这部分知识的难度确实很大，在旧版教材中，这是必修5的内容，很多学校都是到了高一下学期甚至高二上学期才讲。那时候，孩子们的高中数学框架已经初步建立，这一章会结合函数的值域、单调性，还有数列知识进行出题，综合性更强。


现在之所以把这部分提前放到高一的第一个月，其实是为后面的函数学习做准备。毕竟一元二次不等式是函数大题解题的灵魂。但同样引入的，还有最让人头疼的“均值不等式”。这部分知识，一直都是难点。


均值不等式，简而言之，就是两个正数的算术平均值大于等于这两个数的几何平均值，当且仅当这两个数相等时，等号成立。


今天来说说使用“均值不等式”最重要的三个条件，也是很多孩子最容易出错的三个点：正、定、等。


1．所谓“正”，指的是两个数要同为正数。对于函数y=x+1/x，很多初学者都会认为y的取值范围大于等于2。其实这类错误就是没有考虑x和1/x这两个数是否同为“正”导致的 。


由于x和1/x同号，所以应该进行分类讨论。


因为0不能做分母，所以x≠0。


当x为正时，1/x也是正数，此时，x+1/x≥2，当且仅当x=1/x=1时，等号成立。


而当x为负时，原式可以变形为-[(-x)+(-1/x)]，中括号内的数大于等于2，所以它的相反数小于等于-2。


综上所述，x+1/x的取值范围是大于等于2，或小于等于-2。


2.所谓“定”，意思是两个正数的和或者积有一方是定值。（见附图1）


3.所谓“等”，就是一定要关注到是否能取得等号。（见附图2）


关于均值不等式的题型还有很多，应用方法也非常灵活，但万变不离其宗，这就需要通过大量练习来自己总结归纳，方可内化。