导数——微积分的密码，掌握了导数，妈妈再也不用担心我的高数

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初学微积分，最关键的点是导数。

有的同学是通过运动学认识导数的，瞬时速度v就是位移s=f(t)的导数。

有的同学是从切线的斜率入手学习导数的，如下图。

对于曲线y=f(x)的割线MN，当MN绕N点转动使得点M无限接近N点或∠φ无限接近∠ɑ，割线MN的斜率的极限值k=tg∠ɑ（过N点的切线的斜率）即为函数y=f(x)的导数。

由此，导数有这样的定义：

当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。记作y'或f'(x)。

即

从上面的式子可以看出来，导数是个极限值。可能是极限求值的过程天然地具有动态属性，使得许多同学本能的将导数与“运动的”和“变化的”联系起来。这当然是正确的，书上也是这样讲的嘛。

但是，导数也有静态的一面，它可以帮助我们更好地理解微分与积分的互逆关系。

我们以一个简单的函数y=x²为例，求它的导数：

我们用0来替代无穷小△x，并假定0可以被除（0当然是不能被除的，仅是假定）。那么，不用极限运算，也可以得出它的导数：

看，结果是一样的。

对于导数计算中的无穷小△x，我们可以有另一种理解，它是可以被除的0。从空间角度来讲，求函数的导数这件事，就发生在一个点那么小的空间里，尺度大小接近于0，连局部线性化都算不上（微分f'(x)△x才是局部线性化的结果，而且这个△x并不接近于0）。

我们完全可以把一个函数的导数，看作是构成函数曲线的各点的状态，而且是静态的。这种状态在平面坐标系是看不见的，我们需要给它增加一个维度。

将函数F(x)=x²放到三维坐标系中，在X0Y平面上绘制函数曲线F(x)=x²。然后，在曲线y=x²上向Z轴方向绘制直线，长度等于它的导数f(x)=2x的值。将这些直线投影到X0Z平面上，会得到一个三角形，如下图：

为了方便观察，我们再给一个Z轴朝上的：

这个三角形恰好是由导函数f=2x和X轴在区间x∈[0，3]上围合出来。

可见，导函数f(x)和原函数F(x)是一一对应的关系。

这样来看，微积分也很简单的嘛。将微积分原理解构为三个部分：导函数f(x)负责描述过程，打通导函数f(x)与函数F(x)的对应关系，原函数F(x)负责运算。

学好高数第一步：让我们愉快地求导吧！