你所不知道的平行四边形存在性问题的解法

函数综合题中，存在性问题是近年来各地中考的热点。这类题目中图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，且有一定的难度。为此对比了各种方法，发现借用平移坐标方法法更为巧妙地解出平行四边形的存在性问题。

如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。

解：如图， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，

则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：

以BC为对角线，有□CABD1；

以AC为对角线，有□ABCD2；

以AB为对角线，有□ACBD3．

在□CABD1中，线段AC平移到BD1，

∵A→B横坐标增加（x2-x1 ）、纵坐标增加（y2-y1 ），

∴根据坐标平移的性质得D1（x3+x2-x1，y3+y2-y1）。

同理可得：

D2（x3+x1-x2 ，y3+y1-y2 ）、D3（x1+x2-x3，y1+y2-y3 ）．

因此，以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

三、总结

平移坐标法的解题思路：先由题目条件画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。

平移坐标法的特点：

1、不会遗漏。平移坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析，由画图直接找出所有情况；

2、不需证明。平移坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；

3、不限条件。平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变。

平移坐标法运用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想。

通过平移直接写出点的坐标实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想。这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能获得解决问题的新方法、新途径，培养学生探索的能力和创新的意识。