压轴题“一题精讲”(四)：圆背景下的点在线段及其延长线上

当动点运动到线段上时的图形往往和动点在线段的延长线上的图像有很大差别，但是“ 图形改变，方法不变 ”.两张图形虽然不同，但是边与边，角与角之间的关系往往不变，原有的相似三角形或者比例线段依然成立，而改变的往往是线段之间的和、差关系。从特殊到一般，这也是发现问题、研究问题的一种常用方法。
在解决此类问题时，要能够 明确点的运动轨迹 ，当出现“ 射线 ”、“ 直线 ”时，要特别注意，说明其中可能隐含了 分类讨论 。 圆背景下的点在线段或其延长线的问题，要善于利用圆中的特殊条件，即 同圆的半径相等 ， 垂径定理 等，抓住这些关键条件后， 隐去圆 ，即可将原来的问题转化为三角形中的问题。

本题中随着点A的运动，点E和点F也会发生相应的运动，即点F可能在线段OB上，也可能在线段OB的延长线上。可以发现，不管点F的位置在哪里，始终存在着一组 相似三角形 ，即 △COF∽△COE ， 改变的是EF的长度 (线段和差)，即 EF=CE-CF或EF=CF-CE 。

本题中随着点P的运动，三角形相似的情况也会相应发生改变，即BD的长度变为BO+OD或BO-OD。当 P在线段OA延长线上 时，此时∠PCO=∠A，衍生出另一对相似三角形： △COD∽△COB，利用共边共角型相似三角形的线段比求得BD的长度 ；当 P在线段OA上 时， 有且仅有CP⊥OA的情况 (钝角三角形和锐角三角形无法相似)，此时 构造DP-BH-X型相似三角形，求出线段BD长度 。

本题综合考察了圆中 垂径定理 的应用，结合了 点在线段及其延长线上的分类讨论 。 合理构造直角三角形 ， 利用勾股定理 进行问题解决是本题突破的关键。
本题的第1问是求半径， 连结半径OD 后，在 △ODH中利用勾股定理 助力问题解决。

本题的第2问 限定了E在弧AD 上，建立函数关系。通过 作弦心距OM ， 利用锐角三角比和勾股定理 即可建立函数关系。

本题的第3问需要 分类讨论，即E在弧AD、弧BD和弧BC三种情况 。综合利用垂径定理、锐角三角比和勾股定理解决问题。具体的变化见下图视频。

点在线段或其延长线上的分类讨论问题在压轴题中非常常见，在问题解决时，要明晰点的运动轨迹，“数形结合”，明确当点运动的时候，问题解决的办法和途径是不变的，根据分类讨论后的具体图形进行证明和计算。